Русская Википедия:Точка Брокара
Шаблон:Центр треугольника Точка Брокара — одна из двух точек внутри треугольника, возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах. Считаются замечательными точками треугольника, с их помощью строятся многие объекты геометрии треугольника (в том числе окружность Брокара, треугольник Брокара, окружность Нейберга).
Названы по имени французского метеоролога и геометра Анри Брокара, описавшего точки и их построение в 1875 году, однако были известны и ранее, в частности, были построены в одной из работ немецкого математика и архитектора Августа Крелле, изданной в 1816 году.
В энциклопедии центров треугольника первая точка Брокара идентифицируется как <math>X(39)</math>.
Определение
В треугольнике <math>\triangle ABC</math> со сторонами <math>a</math>, <math>b</math>, и <math>c</math>, противолежащими вершинам <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> соответственно, имеется всего одна точка <math>P</math> такая, что отрезки прямых <math>AP</math>, <math>BP</math> и <math>CP</math> образуют один и тот же угол <math>\omega</math> со сторонами <math>c</math>, <math>a</math> и <math>b</math> соответственно: <math>\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA</math>. Точка <math>P</math> называется первой точкой Брокара треугольника <math>\triangle ABC</math>, а угол <math>\omega</math> — углом Брокара треугольника.
Для угла Брокара <math>\omega</math> выполняется следующее тождество: <math>\mathrm{ctg}\, \omega = \mathrm{ctg}\, \angle BAC + \mathrm{ctg}\, \angle ABC + \mathrm{ctg}\, \angle ACB</math>. Для угла Брокара <math>\omega</math> выполняется следующее Шаблон:Anchor2: <math>8\omega^3\le\alpha\beta\gamma</math>, где <math>\alpha=\angle BAC,\beta=\angle ABC,\gamma=\angle ACB</math> — углы искомого треугольника[1].
В треугольнике <math>\triangle ABC</math> имеется также вторая точка Брокара <math>Q</math>, такая, что отрезки прямых <math>AQ</math>, <math>BQ</math> и <math>CQ</math> образуют один и тот же угол со сторонами <math>b</math>, <math>c</math> и <math>a</math> соответственно: <math>\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC</math>. Вторая точка Брокара изогонально сопряжена с первой точкой Брокара, то есть угол <math>\angle PBC = \angle PCA = \angle PAB</math> равен углу <math>\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC</math>.
Две точки Брокара тесно связаны друг с другом, различие между ними — в порядке, в котором нумеруются углы треугольника, так, например, первая точка Брокара треугольника <math>\triangle ABC</math> совпадает со второй точкой Брокара треугольника <math>\triangle ACB</math>.
Построение
Наиболее известное построение точек Брокара — на пересечении окружностей, строящихся следующим образом: для <math>\triangle ABC</math> проводится окружность через точки <math>A</math> и <math>B</math>, касающаяся стороны <math>BC</math> (центр этой окружности находится в точке, которая лежит на пересечении серединного перпендикуляра к стороне <math>AB</math> с прямой, проходящей через <math>B</math> и перпендикулярной <math>BC</math>); аналогичным образом строится окружность через точки <math>B</math> и <math>C</math> и касающуюся стороны <math>AC</math>; третья окружность — через точки <math>A</math> и <math>C</math> и касающаяся стороны <math>AB</math>. Эти три окружности имеют общую точку пересечения, являющуюся первой точкой Брокара треугольника <math>\triangle ABC</math>. Вторая точка Брокара строится аналогично — строятся окружности: через <math>A</math> и <math>B</math>, касающаяся <math>AC</math>; через <math>B</math> и <math>C</math>, касающаяся <math>AB</math>; через <math>A</math> и <math>C</math>, касающаяся <math>BC</math>.
Свойства
Однородные трилинейные координаты для первой и второй точек Брокара есть <math>c/b : a/c : b/a</math> и <math>b/c : c/a: a/b</math> соответственно. Таким образом, их барицентрические координаты соответственно[2] <math>c^2a^2:a^2b^2:b^2c^2</math> и <math>a^2b^2:b^2c^2:c^2a^2.</math>
Точки Брокара лежат на окружности Брокара — окружности, диаметрально построенной на отрезке, соединяющем центр описанной окружности с точкой Лемуана. На ней также лежат вершины первых двух треугольников Брокара. Точки Брокара сопряжены изогонально.
Точка Брокара — одна из 2 точек внутри треугольника, чьи чевианы образуют равные углы с тремя его сторонами, измеренными в трёх его вершинах.
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Прасолов В. В. Точки Брокара и изогональное сопряжение (Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"). М.:МЦНМО, 2000. 24 с.
- Яковлев И. В. Материалы по математике. Изогональное сопряжение. С. 5-6// https://mathus.ru/math/isogonal.pdf
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Scott, J. A. «Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry», Mathematical Gazette 83, November 1999, 472—477.
