Русская Википедия:Точка Жергонна

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Центр треугольника Точка Жергонна — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон вписанной окружности.

Обычно обозначается <math>Ge</math>, <math>G</math>, <math>J</math> или <math>K</math>.

Свойства

• Точка Жергонна является точкой Лемуана треугольника, образованного точками касания сторон треугольника со вписанной окружностью.
• Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля.
• Точка Жергонна изогонально сопряжена с центром отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
• Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра вписанной окружности равен

<math>L^2 = r^2 - \frac {3p^2r^2}{(4R+r)^2}</math>

• Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра описанной окружности равен

<math>L^2 = R^2 - \frac {4p^2r(R+r)}{(4R+r)^2}</math>

• Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга с выколотым центром.
• Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.

Треугольник Жергонна

Треугольник Жергонна для основного треугольника ABC определяется тремя точками касания вписанной окружности трёх его сторон. Эти вершины обозначим T_A, T_B и T_C. Точка T_A лежит напротив вершины A. Этот треугольник Жергонна T_AT_BT_C известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Свойства

• Три прямые AT_A, BT_B и CT_C пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7).
• Точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна.
• Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) является подерным треугольником для инцентра в треугольнике ABC.

См. также

• Замечательные точки треугольника
• Вневписанная окружность
• Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
• Описанная окружность
• Точка Нагеля

История

Точка Жергонна была открыта Жозефом Диасом Жергонном (Joseph Diaz Gergonne, 19.06.1771 – 4.05.1859) в начале XIX века.