Русская Википедия:Точка Нагеля
Шаблон:Центр треугольника Точка Нагеля — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями.
Обычно обозначается <math>N</math>.
Свойства
- Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2 : 1. Эта прямая называется прямой Нагеля (см. рисунок).
- Если точки <math>T_A\in BC</math>, <math>T_B\in CA</math>, <math>T_C\in AB</math> таковы, что каждый из отрезков <math>AT_A</math>, <math>BT_B</math> и <math>CT_C</math> делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
- Точка Нагеля изотомически сопряжена точке Жергонна.
- Точка Нагеля изогонально сопряжена с центром положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
- Расстояние между ортоцентром <math>H</math> и точкой Нагеля <math>N</math> равно диаметру окружности Фурмана и равно
- <math> NH=2R\sqrt{\frac{a^3-a^2b-ab^2+b^3-a^2c+3abc-b^2c-ac^2+c^3}{abc}}</math>.
- Половине этого расстояния равно расстояние между центром описанной окружности и инцентром[1].
- Чевиану точки Нагеля в английской литературе иногда называют сплиттером (splitter) или делителем пополам периметра. К сплиттеру они относят и кливер треугольника.
- Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).[2][3]
- Слабая точка в треугольнике (weak point) та, у которой может найтись близнец с помощью её ортогонального сопряжения за пределы треугольника. Например, инцентр, точка Нагеля и другие являются слабыми точками, ибо допускают получение аналогичных точек при их сопряжении за пределы треугольника.[4].
Треугольник Нагеля
* Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника <math>ABC</math> определяется вершинами <math>T_A</math>, <math>T_B</math> и <math>T_C</math>, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника <math>ABC</math> и точка <math>T_A</math> противоположна стороне <math>A</math>, и т. д.
Свойства
- Описанная вокруг треугольника <math>T_AT_BT_C</math> окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта).
- Три прямые <math>AT_A</math>, <math>BT_B</math> и <math>CT_C</math> делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля <math>N</math> — X(8).
- Перпендикуляры, восстановленные в трех вершинах треугольника Нагеля к сторонам основного треугольника (то есть в точках касания вневписанных окружностей со сторонами основного треугольника), пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[5].
- Анимацию построения точки Нагеля см. на рис.
Замечание
Точка Нагеля относится к слабым точкам. Поэтому следует говорить не об одной, а о нескольких точках Нагеля. То есть, соединение других точек касания вневписанных окружностей с вершинами треугольника дает ещё три точки Нагеля.
История
Названа по имени Христиана Генриха фон Нагеля, впервые охарактеризовавшего её в статье 1836 г.
См. также
- Вписанная окружность
- Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
- Замечательные точки треугольника
- Описанная окружность
- Треугольник точек касания вневписанных окружностей
- Точка Жергонна
Примечания
Ссылки
- Точка Нагеля, живой чертёж
- М. Б. Балк, В. Г. Болтянский Геометрия масс. М.: Наука, 1987. 160 с. Тираж 145000 экз. Серия Библиотечка «Квант», выпуск 61
- ↑ Шаблон:Mathworld
- ↑ Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
- ↑ Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, p. 247, 1929.
- ↑ Мякишев А. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора// Математика. Все для учителя! № 6 (6). июнь. 2011. с. 11, правая колонка, 2-ой абзац сверху// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
- ↑ Шаблон:Книга
