Русская Википедия:Точка Штейнера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Точка Штейнера — одна из замечательных точек треугольника и она обозначается как точка X(99) в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling).

История

Якоб Штейнер (Jakob Steiner) (1796—1863), швейцарский математик, описал эту точку в 1826 году. Этой точке было дано имя Штейнера Жозефом Нойбергом (Joseph Neuberg) в 1886 году.

Определение

Файл:Steiner point construction 01 .svg

Прямая, проходящая через <math>A</math>, параллельна <math>B'C'</math>, прямая, проходящая через <math>B</math>, параллельна <math>C'A'</math>, и прямая, проходящая через <math>C</math>, параллельна <math>A'B'</math> пересекаются в точке Штейнера.

Точка Штейнера определяется следующим образом. (Мы используем не тот способ, каким эту точку определял сам Штейнер.)

Пусть дан любой треугольник <math>ABC</math>. Пусть <math>O</math> — его центр описанной окружности и <math>K</math> — точка пересечения симедиан. Окружность, построенная на <math>OK</math> как на диаметре, представляет собой окружность Брокара треугольника <math>ABC</math>. Прямая, проходящая через <math>O</math> перпендикулярно к прямой <math>BC</math>, пересекает окружность Брокара в другой точке <math>A'</math>. Прямая, проходящая через <math>O</math> перпендикулярно к прямой <math>CA</math>, пересекает окружность Брокара в другой точке <math>B'</math>. Прямая, проходящая через <math>O</math> перпендикулярно к прямой <math>AB</math>, пересекает окружность Брокара в другой точке <math>C'</math> (треугольник <math>A'B'C'</math> есть треугольник Брокара для треугольника <math>ABC</math>). Пусть <math>L_A</math> есть прямая, проходящая через <math>A</math> параллельно прямой <math>B'C'</math>, <math>L_B</math> есть прямая, проходящая через <math>B</math> параллельно прямой <math>C'A'</math>, и <math>L_C</math> есть прямая, проходящая через <math>C</math> параллельно прямой <math>A'B'</math>. Тогда все три прямых <math>L_A</math>, <math>L_B</math> и <math>L_C</math> пересекаются в одной точке. Точка их пересечения и есть точка Штейнера треугольника <math>ABC</math>.

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки Штейнера равны

<math>\left(\frac{bc}{b^2-c^2}:\frac{ca}{c^2-a^2}:\frac{ab}{a^2-b^2}\right)

=(b^2c^2\operatorname{cosec}(B-C):c^2a^2\operatorname{cosec}(C-A):a^2b^2\operatorname{cosec}(A-B))</math>.

Свойства

• Описанный вокруг треугольника <math>ABC</math> эллипс, который также называется эллипсом Штейнера, является эллипсом наименьшей площади, который проходит через вершины <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>. Точка Штейнера треугольника <math>ABC</math> лежит на описанном вокруг треугольника <math>ABC</math> эллипсе Штейнера.
• Хонсбергер (Honsberger) установил следующее свойство точки Штейнера: Точка Штейнера треугольника является центром масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине массы, равной величине внешнего угла при этой вершине.
• Точка Штейнера не обладает этим свойством. Центр масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине треугольника <math>ABC</math> массы, равной величине внешнего угла в этой вершине, не является точкой Штейнера. Этот центр массы называется центроидом кривизны Штейнера (Steiner curvature centroid) треугольника <math>ABC</math> и имеет трилинейные координаты:

<math>\left(\frac{\pi-A}a:\frac{\pi-B}b:\frac{\pi-C}c\right)</math>.

Этот треугольный центр обозначается как X(1115) в энциклопедии центров треугольника.

• Прямая Симсона точки Штейнера треугольника <math>ABC</math> параллельна прямой <math>OK</math>, где <math>O</math> — центр описанной окружности и <math>K</math> — точка пересечения трёх симедиан (точка Лемуана) треугольника <math>ABC</math>.

Точка Тарри

Файл:Tarry point Construction.svg

Прямая, проходящая через <math>A</math> перпендикулярно к <math>B'C'</math>, прямая, проходящая через <math>B</math> перпендикулярно к <math>C'A'</math>, и прямая, проходящая через <math>C</math> перпендикулярно к <math>A'B'</math>, пересекаются в точке Тарри (Tarry)

Точка Тарри треугольника тесно связана с точкой Штейнера треугольника. Пусть <math>ABC</math> — любой данный треугольник. Точка на описанной окружности треугольника <math>ABC</math>, диаметрально противоположная к точке Штейнера треугольника, называется точкой Тарри треугольника <math>ABC</math>. Точка Тарри представляет собой центр треугольника и он обозначен как центр X(98) в энциклопедии центров треугольника. Трилинейные координаты точки Тарри равны

<math>(\operatorname{sec}(A+\omega):\operatorname{sec}(B+\omega):\operatorname{sec}(C+\omega))</math>,

где <math>\omega</math> является углом Брокара треугольника <math>ABC</math>.

См. также

• Центр Штейнера — центр тяжести кривизны Гаусса поверхности выпуклого тела.