Русская Википедия:Точка конденсации

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Точка конденсации — усиленный вариант предельной точки и специальный вариант точки накопления в общей топологии: для заданного множества <math>A</math> в топологическом пространстве <math>X</math> точка <math>x \in X</math> называется точкой конденсации, если во всякой окрестности <math>x</math> содержится несчётное множество точек множества <math>A</math>.

Множество точек конденсации множества <math>A</math> — <math>A^\circ</math> — замкнуто, более того, если оно непусто, то является совершенным множеством и имеет мощность континуума. Множество точек конденсации замыкания множества совпадает с множеством точек конденсации самого множества: <math>\bar A^\circ = A^\circ</math>. Объединение множеств точек конденсации двух множеств совпадает со множеством точек конденсации объединения исходных множеств: <math>(A \cup B)^\circ = A^\circ \cup B^\circ</math>. Для множества <math>A</math> в пространстве <math>X</math> со второй аксиомой счётности <math>A \setminus A^\circ</math> счётно и <math>(A^\circ)^\circ = A</math>. Из последних двух свойств непосредственно следует теорема Кантора — Бендиксона в общетопологическом варианте (изначально доказанная для подмножеств числовой прямой).

У подмножества числовой все предельные точки являются точками конденсации; каждая точка канторова дисконтинуума является его точкой конденсации. У счётного множества точек конденсации быть не может (при этом предельные точки могут существовать, например, предельными для счётного множества рациональных чисел <math>\Q</math> являются все точки числовой прямой).

Для подпространств евклидовых пространств точки конденсации определил и изучил в 1903 году Эрнст Линделёф, в 1914 году Феликс Хаусдорф распространил понятие на общие топологические пространства.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Из