Русская Википедия:Точка перегиба
Точка перегиба — точка плоской кривой, в которой её ориентированная кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак).
Определения
Точка (простого) перегиба регулярной кривой — это такая точка этой кривой, в которой касательная к кривой имеет с ней соприкосновение второго порядка и разбивает кривую, то есть точки кривой, лежащие в некоторой окрестности данной точки по разные стороны от этой точки, лежат также по разные стороны от касательнойШаблон:SfnШаблон:Sfn. Если кривая 2-регулярна, то условие заменяется на следующее: ориентированная кривизна кривой при переходе через точку перегиба изменяет знак. Точкой высшего (вырожденного) перегиба кривой называется такая её точка, касательная к кривой в которой имеет с ней соприкосновение, порядок которого не ниже трёх, и касательная разбивает кривуюШаблон:Sfn.
Условие смены знака ориентированной кривизны не равносильно разбиению кривой на вогнутую и выпуклую часть. Так, в случае точки возврата кривая может не иметь касательной. Для исключения этого вышеприведённых определениях требуется регулярность кривой. Более интересный случай — функция <math>y = x^5(1 + \sin^2\frac{1}{x})</math> при <math>x \ne 0, y = 0 </math> при <math>x = 0 </math>, которая в точке 0 касается оси x и пересекает её, но меняет знак вблизи нуля бесконечное число раз; здесь даже существует вторая непрерывная производнаяШаблон:Sfn. Для исключения такого случая требуют, чтобы функция имела изолированный экстремум (см. ниже).
Точка кривой называется точкой распрямления, если кривизна кривой в этой точке равна нулюШаблон:Sfn. Иногда точку распрямления кривой, не являющуюся точкой перегиба этой кривой, называют параболической точкой распрямленияШаблон:Sfn.
Дифференцируемая функция имеет точку перегиба (x, f(x)) тогда и только тогда, когда её первая производная, f′, имеет изолированный экстремум в точке x (это не то же самое, что f имеет экстремум в этой точке). То есть в некоторой окрестности точки x имеется одна и только одна точка, в которой f′ имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы функции f′ изолированы, то точка перегиба — это точка на графике f, в которой касательная пересекает кривуюШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Высшей (вырожденной) вершиной регулярной кривой называется такая её точка, в которой соприкасающаяся окружность имеет с ней касание, порядок которого выше третьегоШаблон:Sfn.
Восходящая точка перегиба — это точка перегиба, где производная имеет локальный минимум, и нисходящая точка перегиба— это точка перегиба, где производная имеет локальный максимум.
Для алгебраической кривой несингулярная точка является точкой перегиба тогда и только тогда, когда кратность точки пересечения касательной с кривой нечётна и больше двух[1].
Свойства
Точка перегиба <math>m</math> однозначно характеризуется двумя свойствами:
- в точке <math>m</math> кривая имеет единственную касательную,
- в достаточно малой окрестности точки <math>m</math> кривая расположена внутри одной пары противоположных углов, образуемых касательной и нормалью.
Если кривая задана как график дифференцируемой функции <math>f</math>, точка перегиба является точкой экстремума для <math>f'</math>.
Необходимое и достаточное условия
Если x является точкой перегиба для f, то вторая производная, f″(x), равна нулю, если существует, но это условие не является достаточным. Требуется, чтобы наименьший порядок ненулевой производной (выше второй) был нечётным (третья, пятая и т. д. производные). Если наименьший порядок ненулевой производной чётен, точка не является точкой перегиба, а является параболической точкой распрямления Шаблон:Sfn. В алгебраической геометрии, однако, как точки перегиба, так и точки спрямления обычно называют точками перегиба.
Определение предполагает, что f имеет ненулевую производную более высокого порядка по x, которая не обязательно существует. Но если таковая существует, из определения следует, что знак f′(x) постоянен по обеим сторонам от x в окрестности точки x.
Достаточное условие точки перегиба:
1) Достаточным условием точки перегиба является:
- Если f(x) k раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x, где k нечётно и k ≥ 3, f(n)(x0)=0 для n = 2,…,k — 1 и f(k)(x0) ≠ 0, то x0 является точкой перегиба f(x).
2) Другое достаточное условие требует, чтобы <math>f(x+\varepsilon)</math> и <math>f(x-\varepsilon)</math> имели разные знаки в окрестности точки x при условии, что в данной точке существует касательнаяШаблон:Sfn.
Классификация точек перегиба
Точки перегиба можно классифицировать согласно производной f′(x).
- если f′(x) равно нулю, точка является стационарной точкой перегиба
- если f′(x) не равно нулю, точка является нестационарной точкой перегиба
Примером седловой точки является точка (0,0) графика y = x3. Касательной служит ось x и она разделяет график в этой точке.
Нестационарные точки перегиба можно продемонстрировать графиком функции y = x3, если его чуть повернуть относительно начала координат. Касательная в начале координат всё ещё делит график на две части, но градиент не равен нулю.
Функции с разрывами
Некоторые функции меняют выпуклость/вогнутость в некоторой точке, но не имеют в этой точке перегиба. Вместо этого они могут менять кривизну при переходе вертикальной асимптоты или в точке разрыва. Возьмём, например, функцию 2x2/(x2 — 1). Она выпукла при |x| > 1 и вогнута при |x| < 1. Однако у этой функции нет точки перегиба, поскольку 1 и −1 не принадлежат области определения функции.
См. также
- Критическая точка
- Шаблон:Не переведено 5
- Конфигурация Гессе образована девятью точками перегиба эллиптической кривой
- Шаблон:Не переведено 5, архитектурная форма с точками перегиба
- Вершина кривой, локальный минимум или максимум кривизны
Примечания
Литература
Ссылки
.svg){kind=link}
