Шаблон:Центр треугольника
В планиметрии внешняя и внутренняя точки Вектена — точки, которые строятся на основе данного треугольника аналогично первой и второй точкам Наполеона. Однако для построения выбираются центры не равносторонних треугольников, а квадратов, построенных на сторонах данного треугольника (см. рис.).
Пусть ABC — произвольный треугольник. На его сторонах BC, CA, AB наружу построим три квадрата соответственно с центрами <math>O_a,O_b,O_c</math>. Тогда линии <math>AO_a, BO_b</math> и <math>CO_c</math> пересекаются в одной точке, называемой внешней точкой Вектена треугольника ABC.
Внешняя точка Вектена названа так в начале 19-го века в честь французского математика Вектена, который изучал математику в одно время с Жергонном (Joseph Diaz Gergonne) в Ниме (Nîmes) и опубликовал своё исследование о фигуре в виде трех квадратов, построенной на трех сторонах треугольника в 1817-ом году[2].
По другим данным, это произошло в 1812/1813 годах. При этом ссылаются на работу[3].
Внутренняя точка Вектена
Пусть ABC — произвольный треугольник. На его сторонах BC, CA, AB вовнутрь построим три квадрата соответственно с центрами <math>I_a,I_b,I_c</math>. Тогда линии <math>AI_a, BI_b</math> и <math>CI_c</math> пересекаются в одной точке, называемой внутренней точкой Вектена треугольника ABC.
В Энциклопедии центров треугольника внутренняя точка Вектена обозначается как X(486)[1].
Координаты внешней и внутренней точек Вектена получаются из уравнения гиперболы Киперта при значениях угла <math>\theta</math> при основаниях треугольников соответственно π/4 и -π/4.
Ассоциации
Рисунок выше для построения внешней точки Вектена в случае, если оно проводится для прямоугольного треугольника совпадает с рисунком одного из доказательств теоремы Пифагора (см. на рис. ниже так называемые пифагоровы штаны).
Файл:Pythagorean.svgПифагоровы штаны. Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты <math>a</math> и <math>b</math>, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе <math>c</math>Файл:Teorema de Pitágoras.Euclides.svgПифагоровы штаны. Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности <math>\triangle ACK \cong \triangle ABD</math>, площадь которых составляет половину площади прямоугольников <math>AHJK</math> и <math>ACED</math> соответственно.
См. также
Точки Наполеона — пара треугольных центров, построенных аналогичным образом с использованием равносторонних треугольников вместо квадратов
