Русская Википедия:Точная последовательность Эйлера
Точная последовательность Эйлера — это определённая точная последовательность пучков на n-мерном проективном пространстве над кольцом. Она показывает, что кокасательное расслоение проективного пространства Шаблон:Нп5 (n + 1)-кратной сумме тавтологических расслоений <math>\mathcal O(-1)</math> (см. скручивающий пучок Серра).
Формулировка
Для коммутативного кольца A существует точная последовательность пучков
- <math> 0 \to \Omega^1_{\mathbb P^n_A/A} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_A}(-1)^{\oplus n+1} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_A} \to 0.</math>
Для доказательства достаточно определить гомоморфизм <math>S(-1)^{\oplus n+1} \to S, e_i \mapsto x_i</math>, где <math>S = A[x_0,\ldots,x_n]</math> и <math>e_i = 1</math> в степени 1, сюръективный в степенях <math>\geq 1</math> и проверить, что локально на (n + 1)-й стандартных аффинных картах его ядро изоморфно модулю относительных дифференциалов.Шаблон:Sfn
Геометрическая интерпретация
Мы предполагаем, что кольцо A является полем k.
Точная последовательность выше эквивалентна последовательности
- <math> 0 \to \mathcal O_{\mathbb P^{n}} \to \mathcal O (1)^{\oplus (n+1)} \to \mathcal T_{\mathbb P^n} \to 0 </math>,
где последний ненулевой член — это касательный пучок.
Рассмотрим V — (n + 1)-мерное векторное пространство над k и объясним точную последовательность
- <math>0\to \mathcal O_{\mathbb P(V)} \to \mathcal O_{\mathbb P (V)}(1)\otimes V \to \mathcal T_{\mathbb P (V)} \to 0 </math>
Эту последовательность легче всего понимать, интерпретируя средний член как пучок 1-однородных векторных полей на векторном пространстве V. Существует замечательное сечение этого пучка — эйлерово векторное поле — тавтологически определяемое путём сопоставления точке векторного пространства соответствующего этой точке вектора, перенесённого в касательное пространство в этой точке.
Это векторное поле радиально в том смысле, что оно зануляется на 0-однородных функциях, то есть функциях, инвариантных относительно гомотетии с центром в нуле.
Функция (определённая на некотором открытом множестве) на <math>\mathbb P (V)</math> индуцирует 0-однородную функцию на V (вновь частично определённую). Мы получаем 1-однородные векторные поля, умножая эйлерово векторное поле на такие функции. Это определяет первое отображение.
Второе отображение связано с понятием дифференцирований, эквивалентным понятию векторных полей. Напомним, что векторное поле на открытом подмножестве U проективного пространства <math>\mathbb P(V)</math> может быть определено как дифференцирование функций, определённых на этом открытом множестве. Рассматривая прообраз в V, это эквивалентно дифференцированию на прообразе U, сохраняющему 0-однородные функции. Любое векторное поле на <math>\mathbb P(V)</math> может быть получено таким образом, и ядро полученного отображения состоит в точности из радиальных векторных полей.
Каноническое линейное расслоение проективного пространства
Переходя к старшим внешним степеням, находим, что Шаблон:Нп5 проективного пространства имеет вид
- <math>\omega_{\mathbb{P}^n_A/A} \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_A}(-(n+1))</math>.
В частности, проективные пространства являются Шаблон:Нп5, так как каноническое линейное расслоение анти-обильно.
Примечания
Литература
