Русская Википедия:Трансцендентное число
Трансценде́нтное число́ (от Шаблон:Lang-la — переходить за предел, превосходить[1]) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами (не равного тождественно нулю)Шаблон:Sfn. Можно также заменить в определении многочлены с целочисленными коэффициентами на многочлены с рациональными коэффициентами, поскольку корни у них одни и те же.
Свойства
Все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. С точки зрения теории множеств, трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических: множество трансцендентных чисел континуально, а множество алгебраических счётно.
Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число <math>\sqrt 2</math> — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем уравнения <math>x^2-2=0</math> (и потому является алгебраическим).
В отличие от множества алгебраических чисел, которое является полем, трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структуры относительно арифметических операций — результат сложения, вычитания, умножения и деления трансцендентных чисел может быть как трансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторые ограниченные способы получить трансцендентное число из другого трансцендентного существуют.
- Если <math>t</math> — трансцендентное число, то <math>-t</math> и <math>1/t</math> также трансцендентны.
- Если <math>a</math> — ненулевое алгебраическое число, а <math>t</math> — трансцендентное число, то <math>a \pm t,\ at,\ a/t,\ t/a</math> трансцендентны.
- Если <math>t</math> — трансцендентное число, а <math>n</math> — натуральное число, то <math>t^{\pm n}</math> и <math>\sqrt[n]t</math> трансцендентны.
Мера иррациональности почти всякого (в смысле меры Лебега) трансцендентного числа равна 2.
Примеры трансцендентных чисел
- Число <math>\pi</math> (Ф. фон Линдеман, 1882).
- Число <math>e</math> (Ш. Эрмит, 1873).
- Постоянная Гельфонда <math>e^\pi</math> (А. О. Гельфонд, 1934).
- <math>\pi+e^\pi</math>, <math>\pi*e^\pi</math> (Ю. В. Нестеренко, 1996).
- Десятичный логарифм любого натурального числа[2], кроме чисел вида <math>10^n</math>.
- <math>\sin a, \cos a</math> и <math>\mathrm{tg}\,a</math>, для любого ненулевого алгебраического числа <math>a</math> (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).
История
Шаблон:See also Впервые понятие трансцендентного числа (и сам этот термин) ввёл Леонард Эйлер в труде «De relation inter tres pluresve quantitates instituenda» (1775 год)[3]. Эйлер занимался этой темой ещё в 1740-е годы[4]; он заявил, что значение логарифма <math>\log_a{b}</math> для рациональных чисел <math>a, b</math> не является алгебраическим («радикальным», как тогда говорили)[5], за исключением случая, когда <math>b=a^c</math> для некоторого рационального <math>c.</math> Это утверждение Эйлера оказалось верным, но не было доказано вплоть до XX века.
Существование трансцендентных чисел доказал Жозеф Лиувилль в 1844 году, когда опубликовал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью. Лиувилль построил конкретные примеры («числа Лиувилля»), ставшие первыми примерами трансцендентных чисел.
В 1873 году Шарль Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов. В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа <math>\pi</math> и неразрешимость задачи квадратуры круга.
В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если <math>a \neq 0, 1</math>, <math>a</math> — алгебраическое число, и <math>b</math> — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что <math>a^b</math> — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число <math>2^\sqrt 2</math>. Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.
Вариации и обобщения
В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.
Существует аналог теории трансцендентных чисел для многочленов с целочисленными коэффициентами, определённых на поле p-адических чиселШаблон:Sfn.
Некоторые открытые проблемы
- Неизвестно, является ли число <math>\ln \pi</math> рациональным или иррациональным, алгебраическим или трансцендентным[6].
- Неизвестна мера иррациональности для чисел <math>\ln 2, \ln 3</math>[7].
См. также
Примечания
Литература
Шаблон:Вс Шаблон:Числа Шаблон:Иррациональные числа
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:MathWorld
- ↑ Шаблон:MathWorld
