Русская Википедия:Трапецеромбический додекаэдр
Трапецеромби́ческий додека́эдр[1][2] — многогранник, двойственный трёхскатному прямому бикуполу.
Составлен из 12 граней: 6 равнобоких трапеций и 6 ромбов. Каждая грань окружена двумя трапециедальными и двумя ромбическими; у каждой грани два угла равны <math>\arccos \, \frac{1}{3} \approx 70{,}53^\circ,</math> а два других <math>\arccos \left(-\frac{1}{3}\right) \approx 109{,}47^\circ.</math>
Имеет 14 вершин. В 2 вершинах сходятся своими тупыми углами три ромбических грани; в 6 вершинах (расположенных как вершины правильной треугольной призмы) сходятся острыми углами две трапециедальных и две ромбических грани; в остальных 6 (расположенных как вершины другой правильной треугольной призмы) сходятся тупыми углами две трапециедальных и одна ромбическая грани.
У трапецеромбического додекаэдра 24 ребра — 3 «длинных» (служащих большими основаниями трапеций), 18 «средних» (служащих боковыми сторонами трапеций и сторонами ромбов) и 3 «коротких» (служащих малыми основаниями трапеций). Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен <math>120^\circ.</math>
Трапецеромбический додекаэдр можно получить из ромбододекаэдра, разрезав тот на две части любой плоскостью, пересекающей под прямыми углами шесть его рёбер, и повернув одну из частей на 60° вокруг её оси симметрии. Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; вписанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают со вписанной и полувписанной сферами исходного ромбододекаэдра.
Метрические характеристики
Если «средние» рёбра трапецеромбического додекаэдра имеют длину <math>a</math>, то его «длинные» рёбра имеют длину <math>\frac{4}{3}\,a,</math> «короткие» — длину <math>\frac{2}{3}\,a.</math>
Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как
- <math>S = 8\sqrt2\;a^2 \approx 11{,}3137085a^2,</math>
- <math>V = \frac{16\sqrt3}{9}\;a^3 \approx 3{,}0792014a^3.</math>
Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен
- <math>r = \frac{\sqrt6}{3}\;a \approx 0{,}8164966a,</math>
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —
- <math>\rho = \frac{2\sqrt2}{3}\;a \approx 0{,}9428090a.</math>
Описать около трапецеромбического додекаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.
Периметр любой грани будет равен
- <math>P_{\Gamma\Rho} = 4a = 4{,}0000000a,</math>
радиус окружности, вписанной в любую грань —
- <math>r_{\Gamma\Rho} = \sqrt{\rho^2-r^2} = \frac{\sqrt2}{3}\;a \approx 0{,}4714045a,</math>
площадь любой грани —
- <math>S_{\Gamma\Rho} = \frac{P_{\Gamma\Rho}}{2}\,r_{\Gamma\Rho} = \frac{2\sqrt2}{3}\;a^2 \approx 0{,}9428090a^2.</math>
Заполнение пространства
С помощью трапецеромбических додекаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений.
-
Фрагмент заполнения
-
Рёберная модель
Данное заполнение является диаграммой Вороного для центров одинаковых сфер в шестиугольной плотной упаковке (ГП).
Примечания
Ссылки
- ↑ У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 164—165.
- ↑ М. Гарднер. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1999. — Стр. 366—367.
