Русская Википедия:Третья квадратичная форма

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Третья квадратичная форма — один из способов описывать кривизны поверхности. Обычно обозначается <math>\mathbf{I\!I\!I}</math>.

Определение

Пусть <math>S</math> обозначает оператор формы гладкой поверхности <math>\Sigma</math>. Кроме того, пусть <math>u</math> и <math>v</math> — элементы касательного пространства <math>T_p</math> в точке <math>p\in\Sigma</math>. Третья фундаментальная форма определяется как следующее скалярное произведение

<math>

\mathbf{I\!I\!I}(u,v)=\langle S(u), S(v)\rangle. </math>

Свойства

• Третья квадратичная форма не зависит от знака нормали поверхности. (Это отличает её от второй квадратичной формы, которая меняет знак при смене знака нормали)

• Третья квадратичная форма выражается через первую и вторую квадратичную форму.

  <math>

\mathbf{I\!I\!I}-2\cdot H\cdot \mathbf{I\!I}+K\cdot \mathbf{I}=0, </math>

где <math>H</math> — средняя кривизна поверхности и <math>K</math> — гауссова кривизна поверхности.

• Поскольку оператор формы самосопряжён, для <math>u,v\in T_p(M)</math> мы имеем

  <math>

\mathbf{I\!I\!I}(u,v)=\langle Su,Sv\rangle=\langle u,S^2v\rangle=\langle S^2u,v\rangle </math>.

См. также

• Первая квадратичная форма
• Вторая квадратичная форма