Русская Википедия:Треугольная квантовая яма

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Triangular well.jpg

Рис.1. Треугольная квантовая яма. Красным цветом показаны волновые функции для соответствующих значений энергии.

Треуго́льная ква́нтовая я́ма — одномерная потенциальная яма, ограниченная с одной стороны бесконечно высокой потенциальной стенкой, а с другой — потенциалом, линейно растущим с увеличением координаты. Один из простых профилей потенциала в квантовой механике, допускающих точное решение задачи о нахождении уровней энергии и волновых функций находящейся в яме частицы. Модель треугольной ямы используется, в частности, при исследованиях систем с двумерным электронным газом.

Модель потенциальной ямы

Одномерная треугольная потенциальная яма ограничена с одной стороны бесконечно высокой потенциальной стенкой (<math>U(x)\rightarrow+\infty</math> при <math>-\infty<x\leqslant0</math>), а с другой — линейно растущим наклонным потенциалом <math>0< U\left( x \right)=Fx<+\infty</math> при <math>0<x<+\infty</math> (см. рис.1). Такой вид потенциальной энергии <math>U(x)</math> соответствует однородному полю, действующему на частицу с силой <math>-F=dU/dx</math>, не зависящей от координатыШаблон:Sfn. Примерами таких полей являются однородное электрическое поле <math>U\left( x \right)=qE_{el}x\ge 0</math> (<math>q</math> — заряд частицы, <math>E_{el}</math> — напряженность электрического поля) и гравитационное поле тяжести <math>U\left( x \right)=mgx</math> (<math>m</math> — масса частицы, <math>g</math> —ускорение свободного падения).

Решение уравнения Шрёдингера

Уравнения Шрёдингера и граничные условия

Уравнение Шрёдингера для частицы в однородном поле имеет видШаблон:Sfn:

<math>\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar \;^2}(E - Fx)\psi = 0\,.</math>

Граничные условия описывают абсолютно упругое отражение от потенциальной стенки при <math>x=0</math> и убывание решения в классически недоступной области <math>Fx>E</math> при <math>x\rightarrow+\infty</math>:

<math>\psi(x=0)=0, \qquad \psi(x\rightarrow+\infty)\rightarrow 0\,.</math>

Здесь <math>m</math> — масса частицы, <math>\hbar</math> — редуцированная постоянная Планка, <math>E</math> и <math>\psi</math> — искомые энергия и волновая функция частицы.

Замена переменной

Для упрощения дальнейшего рассмотрения вводится безразмерная переменнаяШаблон:Sfn

<math>\xi = \alpha\left(x - \frac{E}{F}\right)\,,</math>

где <math>\alpha=\left(\frac{2mF}{\hbar \;^2}\right)^{1/3}</math>. При использовании новой переменной задача сводится к решению уравнения Эйри

<math>\psi(\xi) - \xi \psi (\xi)= 0\,</math>

с граничными условиями

<math>\psi \left(-\alpha \frac{E}{F}\right)=0, \quad \psi(\xi\rightarrow +\infty)\rightarrow0\,.</math>

Общее решение уравнения Шрёдингера

Общее решение уравнения Эйри имеет вид:

<math>\psi(\xi) = C Ai(\xi)+D Bi(\xi)\,,</math>

где <math>Ai</math> и <math>Bi</math>— функции Эйри 1-го и 2-го рода имеют при больших <math>\xi \rightarrow +\infty</math> следующие асимптотикиШаблон:Sfn

<math>\begin{align}

\mathrm{Ai}\,(\xi) &{}\sim \frac{e^{-\frac23\xi^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,\xi^{1/4}}\,,\\
\mathrm{Bi}\,(\xi) &{}\sim \frac{e^{\frac23\xi^{3/2}}}{\sqrt\pi\,\xi^{1/4}}\,.

\end{align} </math>

При отрицательных значениях <math>\xi</math> функции Эйри осциллируют и имеют бесконечное число нулей. Из граничного условия на бесконечности <math>\xi \rightarrow +\infty</math> и экспоненциального роста <math>Bi(\xi \rightarrow +\infty)</math> следует, что константа <math>D=0 </math> , то есть решение задачи следует искать в виде:

<math>\psi(\xi) = C Ai(\xi)\,.</math>

Дискретные уровни энергии

Собственные значения энергии частицы <math> E = E_n</math> (<math>n = 1,\,\,2,..</math>) в треугольной яме определяются из условия обращения в нуль волновой функции на границе бесконечной потенциальной стенки:

<math>\psi_n \left(\xi_n=-\alpha \frac{E_n}{F}\right)=C_n Ai\left(-\alpha \frac{E_n}{F}\right)= 0\,,</math>

где <math>\xi_n=-a_n</math> — нули функции Эйри. В результате находим дискретный спектр энергий,

<math>E_n = \frac {Fa_n}{\alpha}=\frac{\hbar^2 \alpha^2a_n}{2m}\,,</math>

а соответствующая дискретному уровню <math>E_n</math>волновая функция имеет вид:

<math>{{\psi }_{n}}\left( x \right)=C_n Ai\left( \alpha x-{{a}_{n}} \right)\,.</math>

Для первых пяти нулей значения <math>a_n</math> приближённо равны: <math>a_1 = 2,338</math>, <math>a_2 = 4,088</math>, <math>a_3 = 5,521</math>, <math>a_4 = 6,787</math>, <math>a_5 = 7,944</math>. При больших <math>n\gg1</math> нули функций Эйри определяются выражением:

<math>a_n \approx \left[\frac{3\pi}{2}\,\left(n-\frac{1}{4}\right)\right]^{2/3}\,.</math>

Нормировка волновой функции

Значения констант <math>C_n</math> находятся из условия нормировкиШаблон:Sfn

<math>\int\limits_{0}^{\infty }{dx}Шаблон:\left=1\,.</math>

Вычисляя интеграл от квадрата волновой функции, которая вещественнаШаблон:Sfn,

<math>\begin{align}

 & C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\int\limits_{-{{a}_{n}}}^{\infty }{d\xi }A{{i}^{2}}\left( \xi  \right)= \\ 
& C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\left[ \xi A{{i}^{2}}\left( \xi  \right)-{{\left( A{i}'\left( \xi  \right) \right)}^{2}} \right]_{\xi=-{{a}_{n}}}^{\infty }= \\ 
& C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}{{\left( A{i}'\left( -{{a}_{n}} \right) \right)}^{2}}=1, \\ 

\end{align}</math> находим нормировочные константы, которые зависят от номера квантового уровня:

<math>{{C}_{n}}=\frac{{{\alpha }^{1/2}}}{Ai'\left( -{{a}_{n}} \right)}\,,</math>

где <math>Ai'(\xi)</math> — производная функции Эйри.

Функции <math>\psi_n(x)</math> ортогональны. В этом можно убедиться, вычислив интеграл от произведения волновых функций, принадлежащих разным квантовым состояниям <math>n\neq m</math>Шаблон:Sfn:

<math>\begin{align}

 & {{C}_{n}}{{C}_{m}}\int\limits_{0}^{\infty }{dx}Ai\left( \alpha x-{{a}_{n}} \right)Ai\left( \alpha x-{{a}_{m}} \right)= \\ 
& \frac{{{C}_{n}}{{C}_{m}}}{\alpha \left( {{a}_{m}}-{{a}_{n}} \right)} \left[ A{i}'\left( \alpha x-{{a}_{n}} \right)Ai\left( \alpha x-{{a}_{m}} \right)- \right. \\ 
& \left. Ai\left( \alpha x-{{a}_{n}} \right)A{i}'\left( \alpha x-{{a}_{m}} \right) \right]_{x=0}^{\infty }=0. \\ 

\end{align}</math>

Ширина потенциальной ямы

Для рассматриваемой ямы волновые функции экспоненциально убывают <math>Ai\left( \alpha x-a_n \right)\sim {{x }^{-1/4}}\exp \left( -2{{(\alpha x) }^{3/2}}/3 \right)</math> при <math>x \rightarrow + \infty</math> и отличны от нуля при сколь угодно больших расстояниях <math>x</math>. Ширина классически доступной (<math>E_n > U(x)</math>) области находится из условия

<math>U(x_n) = Fx_n = E_n</math>

и составляет

<math>x_n = \frac {a_n}{\alpha} .</math>

Значения <math>x_n</math> схематически показаны на рисунке 1.

Применение результатов

Файл:Straddling gap heterojunction band diagram.svg

Рис. 2. Зонная диаграмма гетероперехода двух полупроводников.

Задача об энергетическом спектре магнитных поверхностных уровней электронов приближённо сводится к модели треугольной потенциальной ямы. На малых расстояниях от поверхности проводника и в слабом магнитном поле в уравнении Шрёдингера можно пренебречь слагаемыми, квадратичными по векторному потенциалу, и эффективный потенциал ямы линейно зависит от расстояния от поверхности, которая описывается бесконечной стенкой.

Модель треугольной ямы используется при исследованиях двумерного электронного газа в инверсных слоях у границ раздела диэлектрик—полупроводник и границ двух разных полупроводников. Хотя в таких системах профиль зоны проводимости в полупроводнике сложнее, чем линейный, а разрыв зоны проводимости на гетерогранице не является бесконечным (см. рис.2), непосредственно вблизи этой границы яма приближённо считается треугольной, а разрыв зоны достаточно большим.

См. также

• Квантовое движение в электрическом поле
• Прямоугольная квантовая яма
• Осцилляции Зенера — Блоха
• Квантовый осциллятор
• Магнитные поверхностные уровни

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга