Русская Википедия:Треугольная матрица
Треуго́льная ма́трица — в линейной алгебре квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.
Основные определения
Верхняя треугольная матрица (или верхнетреугольная матрица) — квадратная матрица <math>A</math>, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю: <math>a_{ij}=0</math> при <math>i>j</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn
Нижняя треугольная матрица (или нижнетреугольная матрица) — квадратная матрица <math>A</math>, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю: <math>a_{ij}=0</math> при <math>i<j</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица <math>A</math>, в которой все элементы на главной диагонали равны единице: <math>a_{jj}=1</math>Шаблон:Sfn.
Диагональная матрица является одновременно и верхней треугольной, и нижней треугольнойШаблон:Sfn.
Применение
Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Например, метод Гаусса решения СЛАУ основан на следующем результатеШаблон:Sfn:
- любую матрицу <math>A_{n\times n}</math> путём элементарных преобразований над строками и перестановок строк можно привести к треугольному виду.
Тем самым решение исходной СЛАУ сводится к решению системы линейных уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, что не представляет сложностей.
Существуют вариант этого метода (называемый компактной схемой метода Гаусса), основанный на следующих результатахШаблон:Sfn:
- любую квадратную матрицу <math>A</math> с отличными от нуля ведущими главными минорами можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы <math>L</math> и верхней треугольной матрицы <math>U</math>: <math>A=LU</math> (см. LU-разложение), причём такое разложение единственно, если диагональные элементы одной из двух треугольных матриц заранее зафиксированы — например, можно потребовать, чтобы <math>L</math> была унитреугольной;
- любую невырожденную квадратную матрицу <math>A</math> можно представить в следующем виде: <math>PA = LU</math>, где <math>P</math> — матрица перестановок (выбирается в процессе построения разложения) (см. LUP-разложение).
Свойства
- Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагоналиШаблон:Sfn (в частности, определитель унитреугольной матрицы равен единице).
- Множество невырожденных верхних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группуШаблон:Sfn, которая обозначается UT(n, k) или UTn (k).
- Множество невырожденных нижних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группуШаблон:Sfn, которая обозначается LT(n, k) или LTn (k).
- Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UTn (k) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUTn (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLTn (k).
- Множество всех верхних треугольных матриц с элементами из ассоциативного кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижних треугольных матриц.
- Группа UTn разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUTn нильпотентна.
См. также
- Система линейных алгебраических уравнений
- Элементарные преобразования матрицы
- Единичная матрица
- Диагональная матрица
Примечания
Литература
