Русская Википедия:Треугольник

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Другие значения Шаблон:Многоугольник Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади)[1].

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три углаШаблон:Sfn, то есть как часть плоскости, ограниченную тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.

Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В <math>n</math>-мерной геометрии аналогом треугольника является <math>n</math>-й мерный симплекс.

Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденным.

Основные элементы треугольника

Файл:Triangle with notations 2.svg
Стандартные обозначения

Вершины, стороны, углы

Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: <math>A,\ B,\ C,</math> а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами <math>A,</math> <math>B</math> и <math>C</math> обозначается как <math>\Delta ABC.</math> Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин: <math>AB=c</math>, <math>BC=a</math>, <math>CA=b</math>.

Треугольник <math>\Delta ABC</math> имеет следующие углы:

  • угол <math>\angle A=\angle BAC</math> — угол, образованный сторонами <math>AB</math> и <math>AC</math> и противолежащий стороне <math>BC</math>;
  • угол <math>\angle B=\angle ABC</math> — угол, образованный сторонами <math>AB</math> и <math>BC</math> и противолежащий стороне <math>AC</math>;
  • угол <math>\angle C=\angle ACB</math> — угол, образованный сторонами <math>BC</math> и <math>AC</math> и противолежащий стороне <math>AB</math>.

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (<math>\alpha,</math> <math>\beta,</math> <math>\gamma</math>).

Файл:Remint3.svg
Внешним углом <math>DCA</math> плоского треугольника <math>ABC</math> при данной вершине <math>C</math> называется угол, смежный внутреннему углу <math>ACB</math> треугольника при этой вершине

Внешним углом <math>DCA</math> плоского треугольника <math>ABC</math> при данной вершине <math>C</math> называется угол, смежный внутреннему углу <math>ACB</math> треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от <math>0</math> до <math>180^\circ.</math>

Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.

Классификация треугольников

По виду наибольшего угла

Шаблон:Основной источник

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна <math>180^\circ,</math> то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими <math>90^\circ</math>). Выделяют следующие виды треугольников[2].

  • Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
  • Если один из углов треугольника прямой (равен <math>90^\circ</math>), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
  • Если один из углов треугольника тупой (больше <math>90^\circ</math>), то треугольник называется тупоугольным, Остальные два угла, очевидно, острые (треугольников с двумя тупыми или прямыми углами быть не может).

По числу равных сторон (или по степени симметричности)

  • Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны не равны.
  • Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием[3]. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  • Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.
Треугольник Количество осей симметрии Количество пар равных сторон
Разносторонний Нет Нет
Равнобедренный 1 1
Равносторонний 3 3

Медианы, высоты, биссектрисы

Шаблон:Main Шаблон:Main

Файл:Triangle.Centroid.svg
Медианы в треугольнике

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником. Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник. Длину медианы <math>m_c,</math> опущенной на сторону <math>c,</math> можно найти по формулам:

<math>m_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2} = {1 \over 2}\sqrt{a^2+b^2+2ab \cos \gamma};</math> Шаблон:Nbsp для других медиан аналогично.

Шаблон:-

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.

Длину высоты <math>h_c,</math> опущенной на сторону <math>c,</math> можно найти по формулам:

<math>h_c=b\sin\alpha=a\sin\beta=c\,\frac{\sin\alpha\cdot\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}</math>; Шаблон:Nbsp для других высот аналогично.

Длины высот, опущенных на стороны. можно также найти по формулам[4]Шаблон:Rp:

<math>h_c=\frac{ab}{2R},\quad h_a=\frac{bc}{2R},\quad h_b=\frac{ca}{2R}.</math>
Файл:Triangle ABC with bisector AD.svg
Биссектриса <math>AD</math> делит пополам угол <math>A</math>

Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).

Если треугольник разносторонний (не равнобедренный), то биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины. Ещё одно важное свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим к ней сторонамШаблон:Sfn.

Длину биссектрисы <math>l_c,</math> опущенной на сторону <math>c,</math> можно найти по одной из формул:

<math>l_c=\frac{\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}=\frac{2\sqrt{abp(p-c)}}{a+b}</math>, где <math>p</math> — полупериметр.
<math>l_c=\frac{2ab\cos\frac\gamma2}{a+b}=\frac{c\,\sin\alpha\cdot\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}2}</math>.
<math>l_c=\frac{h_c}{\cos\frac{\alpha-\beta}2}</math>; Шаблон:Nbspздесь <math>h_c</math> — высота.

Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный. Шаблон:-

Описанная и вписанная окружности

Шаблон:Main

Файл:Треугольник АВС и его окружности.png
Треугольник АВС и его окружности: вписанная (синяя), описанная (красная) и три вневписанные (зелёные)

Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, её центр совпадает с точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины сторон. В тупоугольном треугольнике этот центр лежит вне треугольника[5].

Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром, он совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Следующие формулы позволяют вычислить радиусы описанной <math>R</math> и вписанной <math>r</math> окружностей:

<math>r={S \over p},</math> где <math>S</math> — площадь треугольника, <math>p</math> — его полупериметр;
<math>r = \sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}};</math>
<math>R = \frac{a}{2\sin \alpha} = \frac{b}{2\sin \beta} = \frac{c}{2\sin \gamma};</math>
<math>R = \frac{abc}{4S} = \frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}};</math>
<math>\frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c},</math> где <math>r_a,\ r_b,\ r_c</math> — радиусы соответственных вневписанных окружностей

Ещё два полезных соотношения:

<math>\frac{r}{R} = \frac{4 S^{2}}{pabc} = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma -1</math>[6];
<math>2Rr = \frac{abc}{a+b+c}.</math>

Существует также формула Карно[7]:

<math>R + r=k_a+k_b+k_c = \frac{1}{2}(d_A+d_B+d_C),</math>
где <math>k_a,</math> <math>k_b,</math> <math>k_c</math> — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон <math>a,</math> <math>b,</math> <math>c</math> треугольника,
<math>d_A,</math> <math>d_B,</math> <math>d_C</math> — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин <math>A,</math> <math>B,</math> <math>C</math> треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны <math>a</math> треугольника равно:

<math>k_a=a/(2\operatorname{tg}A);</math>

расстояние от ортоцентра например до вершины <math>A</math> треугольника равно:

<math>d_A=a/\operatorname{tg}A.</math>

Признаки равенства треугольников

Файл:Признак 1 равенства треугольников.png
Равенство по двум сторонам и углу между ними
Файл:Признак 2 равенства треугольников.png
Равенство по стороне и двум прилежащим углам
Файл:Признак 3 равенства треугольников.png
Равенство по трем сторонам

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов[8]:

  1. <math>a,</math> <math>b,</math> <math>\gamma</math> (равенство по двум сторонам и углу между ними);
  2. <math>a,</math> <math>\beta,</math> <math>\gamma</math> (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
  3. <math>a,</math> <math>b,</math> <math>c</math> (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. по катету и гипотенузе;
  2. по двум катетам;
  3. по катету и острому углу;
  4. по гипотенузе и острому углу.

Дополнительные признаки: треугольники равны, если у них совпадают две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон[9], треугольники равны, если у них равны две стороны и угол не между ними, если этот угол прямой или тупой.

Если в треугольниках <math>\mathcal{ABC}</math> и <math>\mathcal{A_1B_1C_1}</math> имеют место равенства <math>\mathcal{AB} = \mathcal{A_1B_1},</math> <math>\mathcal{AC} = \mathcal{A_1C_1},</math> <math>\angle\mathcal{ABC} = \angle\mathcal{A_1B_1C_1},</math> причём указанные углы НЕ являются острыми, то эти треугольники равны[10].

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского треугольники равны если равны их три угла.

Признаки подобия треугольников

Шаблон:Main

Основные свойства элементов треугольника

Свойства углов

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углыШаблон:Sfn.

Каждый внешний угол треугольника равен разности между 180° и соответствующим внутренним углом. Для внешнего угла также имеет место теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных[9].

Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами:

<math>a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b.</math>

Дополнительное свойство: каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон[9].

Теорема о сумме углов треугольника

Шаблон:Main

Файл:Triangle sommeangles.svg
Сумма углов треугольника равна 180°

Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:

<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ.</math>

В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше.

Теорема синусов

Шаблон:Main

<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R,</math>
где <math>R</math> — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Теорема косинусов

Шаблон:Main

<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma,\quad b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta,\quad a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha.</math>

Эта теорема является обобщением теоремы Пифагора.

  • Замечание. теоремой косинусов также называют следующие две формулы, легко выводимые из основной теоремы косинусов (см. с. 51, ф. (1.11-2))Шаблон:Sfn:
<math>a^2=(b+c)^2-4bc\cos^2\frac\alpha2,\quad a^2=(b-c)^2+4bc\sin^2\frac\alpha2.</math>

Теорема о проекциях

Шаблон:Main Источник: Шаблон:Sfn:

<math>c=a\cos\beta+b\cos\alpha,\quad a=b\cos\gamma+c\cos\beta,\quad b=c\cos\alpha+a\cos\gamma.</math>

Теорема тангенсов (формулы Региомонтана)

Шаблон:Main

<math>\dfrac{a-b}{a+b} = \dfrac{\operatorname{tg}\dfrac{\alpha-\beta}{2}}{\operatorname{tg}\dfrac{\alpha+\beta}{2}} = \dfrac{\operatorname{tg}\dfrac{\alpha-\beta}{2}}{\operatorname{ctg}\dfrac{\gamma}{2}};\quad \frac{b-c}{b+c} = \frac{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\beta-\gamma)]}{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\beta+\gamma)]}; \frac{a-c}{a+c} = \frac{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\alpha-\gamma)]}{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\alpha+\gamma)]}.</math>

Теорема котангенсов

Шаблон:Main

<math>\frac{p-a}{\operatorname{ctg}(\alpha/2)}=\frac{p-b}{\operatorname{ctg}(\beta/2)}=\frac{p-c}{\operatorname{ctg}(\gamma/2)}=r.</math>

Формулы Мольвейде

Шаблон:Main

<math>\frac{a+b}c=\frac{\cos\frac{A-B}2}{\sin\frac C2},\quad\frac{a-b}c=\frac{\sin\frac{A-B}2}{\cos\frac C2}.</math>

Решение треугольников

Шаблон:Main

Вычисление неизвестных сторон, углов и других характеристик треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы, а также признаки равенства и подобия треугольников.

Площадь треугольника

Далее используются обозначения
  • <math>h_a,\ h_b,\ h_c</math> — высоты, проведённые на стороны <math>a,\ b,\ c,</math>
  • <math>m</math> — медиана из вершины угла со сторонами<math>a,\ b,</math>
  • <math>p=\dfrac {a+b+c}{2}</math> — полупериметр,
  • <math>p_m=\dfrac {a+b+2m}{2},</math>
  • <math>r</math> — радиус вписанной окружности,
  • <math>r_a,\ r_b,\ r_c</math> — радиусы вневписанных окружности, касающейся сторон <math>a,\ b,\ c,</math>
  • <math>r_a,\ r_b,\ r_c,</math>
  • <math>R</math> — радиус описанной окружности.
Площадь треугольника связана с его основными элементами следующими соотношениями
  1. <math>S_{\triangle ABC}= \dfrac {1}{2} a\cdot h_a = \dfrac {1}{2} b\cdot h_b = \dfrac {1}{2} c\cdot h_c;</math>
  2. <math>S_{\triangle ABC}=\dfrac {1}{2} ab \sin \gamma = \dfrac{a^{2}\sin{\beta}\cdot\sin{\gamma}}{2\sin{\left(\beta +\gamma\right)}}=\dfrac{b^{2}\sin{\alpha}\cdot\sin{\gamma}}{2\sin{\left(\alpha + \gamma\right)}}=\dfrac{c^{2}\sin{\alpha}\cdot\sin{\beta}}{2\sin{\left(\alpha + \beta\right)}};</math>
  3. <math>S_{\triangle ABC}=\dfrac {abc}{4R};</math>
  4. <math>S_{\triangle ABC}= r\cdot p;</math>
  5. <math>S_{\triangle ABC}= \sqrt{p\cdot p_a \cdot p_b \cdot p_c} =\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)} = {1 \over 4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}</math> — формула Герона;
  6. <math>S_{\triangle ABC}= \left(p-a\right)r_a =\left(p-b\right)r_b = \left(p-c\right)r_c</math>[11];
  7. <math>S_{\triangle ABC}= \sqrt{p_m\left(p_m-a\right)\left(p_m-b\right)\left(p_m-2m\right)};</math>
  8. <math>S=\sqrt{r\cdot r_a \cdot r_b \cdot r_c}</math>[12];
  9. <math>S_{\triangle ABC}= {R\cdot r\cdot \left(\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma\right)};</math>
  10. <math>S_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma};</math>
  11. <math>S_{\triangle ABC}=\dfrac {c^2}{2\left(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta\right)};</math>
  12. <math>S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}\wedge \overrightarrow{CB}\right)=\dfrac{ \left(x_A-x_C\right)\left(y_B-y_C\right) - \left(x_B-x_C\right)\left(y_A-y_C\right)}{2}</math> — ориентированная площадь треугольника;
  13. <math>S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{\displaystyle \sqrt{\left(\dfrac{1}{h_{a}}+\dfrac{1}{h_{b}}+\dfrac{1}{h_{c}}\right)\left(\dfrac{1}{h_{c}}+\dfrac{1}{h_{b}}-\dfrac{1}{h_{a}}\right)\left(\dfrac{1}{h_{a}}+\dfrac{1}{h_{c}}-\dfrac{1}{h_{b}}\right)\left(\dfrac{1}{h_{a}}+\dfrac{1}{h_{b}}-\dfrac{1}{h_{c}}\right)}}</math> — см. Аналоги формулы Герона;
  14. <math>S_{\triangle ABC}=r^2\operatorname{ctg}\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) \operatorname{ctg}\left(\dfrac{\beta}{2}\right) \operatorname{ctg}\left(\dfrac{\gamma}{2}\right);</math>
  15. <math>S_{\triangle ABC}=\dfrac{p}{\displaystyle {\dfrac{1}{h_{a}}+\dfrac{1}{h_{b}}+\dfrac{1}{h_{c}}}};</math>
  16. <math>S_{\triangle ABC}=\dfrac12\sqrt{2h_ah_bh_cR};</math>
  17. <math>S_{\triangle ABC}=a\cdot\dfrac{r_br_c}{\displaystyle {r_{b} + r_{c}}} = b\cdot\dfrac{r_ar_c}{\displaystyle {r_{a} + r_{c}}} = c\cdot\dfrac{r_ar_b}{\displaystyle {r_{a} + r_{b}}};</math>
Частные случаи
  1. <math>S_{\triangle ABC}=\dfrac{ab}{2}</math> — для прямоугольного треугольника;
  2. <math>S=\dfrac {a^2\sqrt{3}}{4}</math> — для равностороннего треугольника.

Другие формулы

  • Существуют другие формулы, такие, как например[13]:
<math>S=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha}4\left(b^2+c^2-a^2\right)</math>

для угла <math>\alpha\ne90^\circ.</math>

  • В 1885 году Бейкер (Baker)[14] предложил список более ста формул площади треугольника. Он, в частности, включает:
<math>S=\dfrac12\sqrt[3]{abch_ah_bh_c},</math>
<math>S=\dfrac12\sqrt{abh_ah_b},</math>
<math>S=\dfrac{a+b}{2\left(\dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b}\right)},</math>
<math>S=\dfrac{Rh_bh_c}a.</math>

Неравенства для площади треугольника

Для площади справедливы неравенства:

  • <math>\sqrt{27}r^2\leqslant S\leqslant \dfrac{\sqrt{27}}{4}R^2,</math> причём оба равенства достигаются.
  • <math>S\leqslant\dfrac{a^2+b^2}{4},</math> где равенство достигается для равнобедренного прямоугольного треугольника.
  • Площадь треугольника с периметром <math>p</math> меньше или равна <math>\dfrac{p^2}{12\sqrt3}.</math> Равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный треугольник)[15][16]Шаблон:Rp.
  • Другие границы для площади <math>S</math> даются формулами[17]Шаблон:Rp:
<math>4\sqrt3S\leqslant a^2+b^2+c^2</math>Шаблон:NbspиШаблон:Nbsp;
<math>4\sqrt3S\leqslant\dfrac{9abc}{a+b+c},</math>

где в обоих случаях равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный).

История изучения

Шаблон:Main

Свойства треугольника, изучаемые в школе, за редким исключением, известны с ранней античности. Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.[18]

Общая и достаточно полная теория геометрии треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в Древней ГрецииШаблон:Sfn. В частности, во второй книге „Начал“ Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольниковШаблон:Sfn. Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Свойствами элементов треугольников (углов, сторон, биссектрис и др.) после Евклида занимались Архимед, Менелай, Клавдий Птолемей, Папп АлександрийскийШаблон:Sfn.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометровШаблон:Sfn. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен.

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались „зиджи“; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теорииШаблон:Sfn. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век).

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X векаШаблон:Sfn. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольникаШаблон:Sfn.

Фундаментальное изложение тригонометрии (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году[19]. Его „Трактат о полном четырёхстороннике“ содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решённых самим ат-Туси[20]. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для практической работы с треугольниками.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10»Шаблон:Sfn. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций.

Изучение треугольника продолжилось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636), открыта точка Торричелли (1640) и изучены её свойства. Джованни Чева доказал свою теорему о трансверсалях (1678). Лейбниц показал, как вычислять расстояние от центра тяжести треугольника до других его замечательных точек[21]. В XVIII веке были обнаружены прямая Эйлера и окружность шести точек (1765).

В начале XIX века была открыта точка Жергонна. В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. К концу XIX века относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нойберга. Окружность девяти точек исследовали Понселе, Брианшон и Штейнер, Были обнаружены ранее неизвестные геометрические связи и образы — например, окружность Брокара, точки Штейнера и Тарри. В 1860 году Шлёмильх доказал теорему: три прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами его соответствующих высот, пересекаются в одной точке. В 1937 году советский математик С. И. Зетель показал, что эта теорема верна не только для высот, но и для любых других чевиан. Исследования перечисленных выше геометров превратили геометрию треугольника в самостоятельный раздел математикиШаблон:Sfn.

Значительный вклад в геометрию треугольника внёс в конце XIX — начале XX века Фрэнк Морли. Он доказал, что геометрическое место центров кардиоид, вписанных в треугольник, состоит из девяти прямых, которые, взятые по три, параллельны трём сторонам равностороннего треугольника. Кроме того, 27 точек, в которых пересекаются эти девять прямых, являются точками пересечения двух трисектрис треугольника, принадлежащих к одной и той же его стороне. Наибольшую известность получил частный случай этой теоремы: внутренние трисектрисы углов треугольника, прилежащих к одной и той же стороне, пересекаются попарно в трёх вершинах равностороннего треугольника. Обобщение этих работ опубликовал Анри Лебег (1940), он ввел <math>n</math>-сектрисы треугольника и изучил их расположение в общем видеШаблон:Sfn.

С 1830-х годов в геометрии треугольника стали широко использоваться трилинейные координаты точек. Активно развивалась теория преобразований — проективное, изогональное, изотомическое и другие. Полезной оказалась идея рассмотрения задач теории треугольников на комплексной плоскости[22].

Дополнительные сведения

Все факты, изложенные в этом разделе, относятся к евклидовой геометрии.

  • Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Обычно под чевианой понимают не один такой отрезок, а один из трёх таких отрезков, проведённых из трёх разных вершин треугольника и пересекающихся в одной точке. Они удовлетворяют условиям теоремы Чевы. Чевианы, соединяющие вершину треугольника с точками противоположной стороны, отстоящими на заданное отношение <math>\frac{1}{n}</math> от её концов, называют недианами.
  • Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Три средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника в 4 раза меньшей площади, чем площадь исходного треугольника.
  • Серединные перпендикуляры (медиатрисы) к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.
  • Чевианы, лежащие на прямых, симметричных медианам относительно биссектрис, называются симедианами. Они проходят через одну точку — точку Лемуана.
  • Чевианы, лежащие на прямых, изотомически сопряжённых биссектрисам относительно оснований медиан, называются антибиссектрисами. Они проходят через одну точку — центр антибиссектрис.
  • Кливер треугольника — это отрезок, одна вершина которого находится в середине одной из сторон треугольника, вторая вершина находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.
  • Некоторые точки в треугольнике — «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли. Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это — точки Аполлония. Точки <math>P</math> и <math>Q</math> такие, что <math>\angle ABP = \angle BCP = \angle CAP</math> и <math>\angle BAP = \angle CBP = \angle ACP</math> называются точками Брокара.

Некоторые замечательные прямые треугольника

Шаблон:Main

Трилинейные поляры треугольника

Шаблон:Main

Файл:Line at infinity ru.svg
Бесконечно удалённая прямая — трилинейная поляра центроида
Файл:Construction of central lines ru.svg
Построение трилинейной поляры точки <math>Y</math>
  • Трилинейная поляра точки <math>P</math> (полюса) относительно невырожденного треугольника это — прямая линия, определяемая следующим построением. Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки (на рис. дано построение трилинейной поляры <math>EDF</math> красной точки <math>Y</math>).
  • Трилинейной полярой центроида является бесконечно удаленная прямая — (см. рис.)
Файл:Lemoine Axis ru.svg
Ось Лемуана — трилинейная поляра точки Лемуана показана красным цветом
  • Трилинейная полярой точки Лемуана служит ось Лемуана (см. рис.)
Файл:Antiorthic Axis ru.svg
Ось внешних биссектрис или антиортовая ось (antiorthic axis) — трилинейная поляра центра вписанной окружности (инцентра) треугольника <math>ABC</math>)
  • Все три основания <math>D,</math> <math>E</math> и <math>F</math> трёх внешних биссектрис соответственно <math>AD,</math> <math>CE</math> и <math>BF</math> внешних углов треугольника <math>ABC</math> лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис или антиортовой осью <math>DEF</math> (antiorthic axis) (см. рис.). Эта ось также является трилинейной полярой центра вписанной окружности (инцентра).
Файл:Orthic Axis ru.svg
Ортоцентрическая ось (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра
  • Ортоцентрическая ось <math>DEF</math> (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра (см. рис.)
  • Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид).

Вписанные и описанные фигуры для треугольника

Шаблон:Main

Преобразования

Ниже описаны 3 вида преобразований: 1) Изогональное сопряжение, 2) Изотомическое сопряжение, 3) Изоциркулярное преобразование.

Изогональное сопряжение

Изогональные сопряжения линий треугольника

Шаблон:См. также

Изотомическое сопряжение

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники.

При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры

  • Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности. Это означает то, что если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке <math>X,</math> лежит на трилинейной поляре точки <math>Y,</math> тогда трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке <math>Y</math> лежит на трилинейной поляре точки <math>X.</math>
  • Трилинейная поляра точки <math>Y,</math> изогонально сопряженной для точки <math>X</math> треугольника, называется центральной линией точки <math>X</math>[26][27].

Изоциркулярное преобразование

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием[28]. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Тригонометрические тождества только с углами

  • Три положительных угла <math>\alpha,</math> <math>\beta</math> и <math>\gamma</math>, каждый из которых меньше <math>180^\circ</math>, являются углами треугольника тогда и только тогда, когда выполняется любое одно из следующих соотношений:
<math>\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\gamma=\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma</math>

(первое тождество для тангенсов)

Замечание. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).

<math>\operatorname{tg}{\frac\alpha2}\operatorname{tg}{\frac\beta2}+\operatorname{tg}{\frac\beta2}\operatorname{tg}{\frac\gamma2}+\operatorname{tg}{\frac\gamma2}\operatorname{tg}{\frac\alpha2}=1,</math>[29]

(второе тождество для тангенсов)

<math>\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,</math>

(первое тождество для синусов)

<math>\sin^2{\frac\alpha2}+\sin^2{\frac\beta2}+\sin^2{\frac\gamma2}+2\sin{\frac\alpha2}\sin{\frac\beta2}\sin{\frac\gamma2}=1</math>,[29]

(второе тождество для синусов)

<math>\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=1</math>,[6]

(тождество для косинусов)

<math>\frac rR=4\sin\frac\alpha2\sin\frac\beta2\sin\frac\gamma2=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1</math>

(тождество для отношения радиусов)

Замечание. При делении обеих частей второго тождества для тангенсов на произведение <math>\operatorname{tg}\frac\alpha2\operatorname{tg}\frac\beta2\operatorname{tg}\frac\gamma2</math> получается тождество для котангенсов:

<math>\operatorname{ctg}\frac\alpha2+\operatorname{ctg}\frac\beta2+\operatorname{ctg}\frac\gamma2=\operatorname{ctg}\frac\alpha2\operatorname{ctg}\frac\beta2\operatorname{ctg}\frac\gamma2</math>,

по форме (но не по содержанию) очень похожее на первое тождество для тангенсов.

Разные соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для <math>\triangle ABC</math>:

  • <math>\frac ab=\frac{a_L}{b_L};</math>
  • <math>l_c={\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}}=\sqrt{ab-a_Lb_L}

= \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b};</math>

  • <math>m_c=\frac12\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}=\frac12\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\gamma};</math>
  • <math>h_c=b\sin\alpha=a\sin\beta=\frac{2S}c;</math>
  • <math>d^2=R(R-2r)</math> — формула Эйлера;
  • <math>\frac rR=4\sin\frac\alpha2\sin\frac\beta2\sin\frac\gamma2=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1;</math>
  • <math>a^2+b^2+c^2=4S(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\gamma)=2R^2(3-(\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma));</math>
  • <math>\frac34(a^2+b^2+c^2)=m_a^2+m_b^2+m_c^2</math>[4]Шаблон:Rp;

Где:

  • <math>a,</math> <math>b</math> и <math>c</math> — стороны треугольника,
  • <math>a_L,</math> <math>b_L</math> — отрезки, на которые биссектриса <math>l_c</math> делит сторону <math>c,</math>
  • <math>m_a,</math> <math>m_b,</math> <math>m_c</math> — медианы, проведённые соответственно к сторонам <math>a,</math> <math>b</math> и <math>c,</math>
  • <math>h_a,</math> <math>h_b,</math> <math>h_c</math> — высоты, опущенные соответственно на стороны <math>a,</math> <math>b</math> и <math>c,</math>
  • <math>r</math> — радиус вписанной окружности,
  • <math>R</math> — радиус описанной окружности,
  • <math>p=\frac{a+b+c}2</math> — полупериметр,
  • <math>S</math> — площадь,
  • <math>d</math> — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
  • Для любого треугольника, у которого стороны связаны неравенствами <math>a\geqslant b\geqslant c,</math> а площадь равна <math>S,</math> длины срединных перпендикуляров или медиатрис, заключённых внутри треугольника, опущенных на соответствующую сторону (отмеченную нижним индексом), равны[30]Шаблон:Rp
<math>p_a=\frac{2aS}{a^2+b^2-c^2},</math> <math>p_b=\frac{2bS}{a^2+b^2-c^2}</math> и <math>p_c=\frac{2cS}{a^2-b^2+c^2}.</math>

Формулы площади треугольника в декартовых координатах на плоскости

Обозначения
  • <math>(x_A,y_A);\ (x_B,y_B);\ (x_C,y_C)</math> — координаты вершин треугольника.

Общая формула площади треугольника в декартовых координатах на плоскости

<math>S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}=\frac {\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|}{2} = \frac {\left|(x_B - x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)\right|}{2}.</math>

В частности, если вершинаШаблон:NbspA находится в начале координат (0,Шаблон:Nbsp0), а координаты двух других вершин есть Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap, то площадь может быть вычислена в виде Шаблон:Frac от абсолютного значения определителя:

<math>T = \frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|.</math>

Последнюю формулу площади треугольника в английской литературе именуют формулой площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (Шаблон:Lang-en2), или геодезической формулой (Шаблон:Lang-en2[31]), или формулой площади Гаусса.

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов

Пусть вершины треугольника находятся в точках <math>\ \mathbf{r}_A (x_A,\ y_A,\ z_A),</math> <math>\ \mathbf{r}_B (x_B,\ y_B,\ z_B),</math> <math>\ \mathbf {r}_C (x_C,\ y_C,\ z_C).</math>

Введём вектор площади <math>\ \mathbf{S} =\frac12 [\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A,\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_A].</math> Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

<math>
\mathbf{S} =\frac12

\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \\ x_C - x_A & y_C - y_A & z_C - z_A \end{vmatrix}.</math>

Положим <math>\mathbf{S} =S_x \mathbf{i}+ S_y \mathbf{j}+ S_z \mathbf{k},</math> где <math>S_x,</math> <math>S_y,</math> <math>S_z</math> — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом:

<math>

S_x =\frac12 \begin{vmatrix} y_B - y_A & z_B - z_A \\ y_C - y_A & z_C - z_A \end{vmatrix} = \frac12 \begin{vmatrix} 1 & y_A & z_A \\ 1 & y_B & z_B \\ 1 & y_C & z_C \end{vmatrix}, </math>

и аналогично:

<math>

S_y =\frac12 \begin{vmatrix} x_A & 1 & z_A \\ x_B & 1 & z_B \\ x_C & 1 & z_C \end{vmatrix}, \qquad S_z =\frac12 \begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}.</math>

Площадь треугольника равна <math>S=\sqrt{S_x^2+S_y^2+S_z^2}.</math>

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

Вычисление площади треугольника через комплексные декартовы координаты его вершин

Если обозначить комплексные декартовы координаты (на комплексной плоскости) вершин треугольника соответственно через <math>a=x_A+y_Ai,</math> <math>b=x_B+y_Bi</math> и <math>c=x_C+y_Ci</math> и обозначить их комплексно сопряженные точки соответственно через <math>\bar a,</math> <math>\bar b</math> и <math>\bar c</math>, тогда получим формулу:

<math>T=\frac i4\begin{vmatrix}a & \bar a & 1 \\ b & \bar b & 1 \\ c & \bar c & 1 \end{vmatrix},</math>

что эквивалентно формуле площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формуле (surveyor’s formula[31]), или формуле площади Гаусса.

Треугольник в неевклидовых геометриях

На сфере

Шаблон:Main

Файл:Spherical triangle 3d.png
Сферический треугольник

Свойства треугольника со сторонами <math>a,</math> <math>b,</math> <math>c</math> и углами <math>A,</math> <math>B,</math> <math>C.</math>

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго больше <math>180^\circ.</math>

Любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов (здесь и далее сторону сферического треугольника принято измерять не линейной мерой, а величиной опирающегося на неё центрального угла):

<math>\frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}.</math>

Теоремы косинусов:

<math>\cos c=\cos a\cos b-\sin a\sin b\cos C,</math>
<math>\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c.</math>

На плоскости Лобачевского

Шаблон:Main Для треугольника со сторонами <math>a</math>, <math>b,</math> <math>c</math> и углами <math>A,</math> <math>B,</math> <math>C.</math>

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго меньше <math>180^\circ.</math>

Как и на сфере, любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов:

<math>\frac{\sin A}{\operatorname{sh}a}=\frac{\sin B}{\operatorname{sh}b}=\frac{\sin C}{\operatorname{sh}c}.</math>

Теоремы косинусов:

<math>\operatorname{ch}c=\operatorname{ch}a\operatorname{ch}b-\operatorname{sh}a\operatorname{sh}b\cos C,</math>
<math>\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\operatorname{ch}c.</math>

Связь суммы углов с площадью треугольника

Значение для суммы углов треугольника во всех трёх случаях (евклидова плоскость, сфера, плоскость Лобачевского) является следствием формулы Гаусса — Бонне:

<math>\int\limits_\Omega K\,d\sigma+\sum_i\varphi_i=2\pi\chi.</math>

В случае треугольника эйлерова характеристика <math>\chi=1.</math> Углы <math>\varphi_i</math> — это внешние углы треугольника. Значение величины <math>K</math> (гауссовой кривизны) — это <math>K=0</math> для евклидовой геометрии, <math>K=1</math> для сферы, <math>K=-1</math> для плоскости Лобачевского.

Шаблон:В планах

Треугольник в римановой геометрии

Шаблон:В планах

Обозначение

Символ Юникод Название
△ U+25B3 Шаблон:Smallcaps

См. также

Дополнительные статьи о геометрии треугольника можно найти в категориях:

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

История

Ссылки

Шаблон:Библиоинформация Шаблон:^v Шаблон:Треугольник Шаблон:Многоугольники

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Книга
  2. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок SEM218 не указан текст
  3. ↑ Основанием равнобедренного треугольника всегда называют сторону, не равную двум другим.
  4. ↑ 4,0 4,1 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
  5. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок SEM221 не указан текст
  6. ↑ 6,0 6,1 Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.
  7. ↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.
  8. ↑ Геометрия по Киселёву Шаблон:Wayback, § 41.
  9. ↑ 9,0 9,1 9,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок SEM219 не указан текст
  10. ↑ Шаблон:Книга
  11. ↑ Sa ́ndor Nagydobai Kiss, «A Distance Property of the Feuerbach Point and Its Extension», Forum Geometricorum 16, 2016, 283—290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf Шаблон:Wayback
  12. ↑ Pathan, Alex, and Tony Collyer, "Area properties of triangles revisited, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 495—497.
  13. ↑ Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral, " Mathematical Gazette 93, July 2009, 306—309.
  14. ↑ Baker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle, « Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134—138; part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18. The formulas given here are #9, #39a, #39b, #42, and #49. The reader is advised that several of the formulas in this source are not correct.
  15. ↑ Chakerian, G. D. „A Distorted View of Geometry.“ Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
  16. ↑ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; and Wulf, Daniel B. „Heron triangles and moduli spaces“, Mathematics Teacher 101, May 2008, 656—663.
  17. ↑ Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar, The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
  18. ↑ Шаблон:Книга
  19. ↑ Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.
  20. ↑ Шаблон:Книга
  21. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок IIST129 не указан текст
  22. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок IIST130 не указан текст
  23. ↑ Rigby, John (1997), Brief notes on some forgotten geometrical theorems. Mathematics and Informatics Quarterly, volume 7, pages 156—158 (as cited by Kimberling).
  24. ↑ Шаблон:Книга
  25. ↑ Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду. Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. Москва: МЦНМО, 2009.
  26. ↑ Шаблон:Статья
  27. ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
  28. ↑ Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника(Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“») М.:МЦНМО,2002.с.14—17
  29. ↑ 29,0 29,1 Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, «Simple trigonometric substitutions with broad results», Mathematical Reflections no 6, 2007.
  30. ↑ Mitchell, Douglas W. (2013), «Perpendicular Bisectors of Triangle Sides», Forum Geometricorum 13, 53-59.
  31. ↑ 31,0 31,1 Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Треугольник&oldid=10949611