Русская Википедия:Треугольник Кеплера
Треугольник Кеплера — это прямоугольный треугольник, длины сторон которого составляют геометрическую прогрессию. При этом соотношение длин сторон треугольника Кеплера связано с золотым сечением
- <math>\varphi = {1 + \sqrt{5} \over 2}</math>
которое может быть записано в виде : <math> 1 : \sqrt\varphi : \varphi</math>, или приблизительно 1 : 1.272 : 1.618[1] Квадраты сторон этого треугольника (см. рисунок) составляют геометрическую прогрессию, соответствующую золотому сечению.
Треугольники с таким соотношением сторон были названы в честь немецкого математика и астронома Иоганна Кеплера (1571—1630), который первым продемонстрировал, что в таких треугольниках отношение длины короткого катета к гипотенузе равно золотому сечению[2]. Таким образом, треугольник Кеплера объединяет в себе два ключевых математических понятия — теорему Пифагора и золотое сечение, по поводу чего Кеплер отметил:
Шаблон:Начало цитаты В геометрии существует два сокровища: одно из них — теорема Пифагора, другое — разделение линии в золотой пропорции. Первое мы можем сравнить с массой золота, второе мы можем назвать драгоценным камнем. Иоганн Кеплер Шаблон:Конец цитаты
Некоторые источники утверждают, что соотношение сторон знаменитых пирамид в Гизе приближается к треугольнику Кеплера[3][4].
Следствие
Тот факт, что треугольник со сторонами <math>1</math>, <math>\sqrt\varphi</math> и <math>\varphi</math> образует прямоугольный треугольник, прямо следует из переписывания квадратного трёхчлена для золотого сечения <math>\varphi</math>:
- <math>\varphi^2 = \varphi + 1 </math>
в виде теоремы Пифагора:
- <math>(\varphi)^2 = (\sqrt\varphi)^2 + (1)^2. </math>
Отношение к среднему арифметическому, среднему геометрическому и среднему гармоническому
Для положительных вещественных чисел а и b их среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое являются длинами сторон прямоугольного треугольника тогда и только тогда, когда треугольник является треугольником Кеплера[5].
Построение треугольника Кеплера
Треугольник Кеплера может быть построен с помощью циркуля и линейки через построение золотого сечения следующим образом:
- Построить простой квадрат
- Провести линию от середины одной стороны квадрата к противоположному углу
- Использовать эту линию в качестве радиуса дуги, определяющей высоту прямоугольника
- Дополнить до золотого сечения
- Использовать длинную сторону прямоугольника золотого сечения в качестве радиуса дуги, которая, пересекая противоположную сторону прямоугольника, задаёт длину гипотенузы треугольника Кеплера.
Сам Кеплер строил этот треугольник по-другому. В письме к своему бывшему учителю, профессору Михаэлю Мёстлину, он писал: «Если на линии, которая разделена в крайнем и среднем отношении, построить прямоугольный треугольник таким образом, что прямой угол будет находиться в точке раздела, то меньшая сторона будет равняться большему сегменту разделенной линии.»[2].
Математическое совпадение
Возьмём треугольник Кеплера со сторонами <math>a, a \sqrt{\varphi}, a \varphi,</math> и рассмотрим:
- окружность, которая окружает его, и
- квадрат со стороной, равной средней по величине стороне треугольника.
Тогда периметр квадрата (<math>4a \sqrt{\varphi}</math>) и длина окружности (<math>a \pi \varphi</math>) совпадают с точностью до 0,1 %.
Это математическое совпадение <math>\pi \approx 4/\sqrt\varphi</math>. Эти квадрат и окружность не могут иметь одинаковую длину периметра, поскольку в этом случае можно было бы решить классическую неразрешимую задачу о квадратуре круга. Другими словами, <math>\pi \neq 4/\sqrt\varphi</math> поскольку <math>\pi</math> — трансцендентное число.
Примечания
Шаблон:Примечания Шаблон:Иоганн КеплерШаблон:Золотое сечение
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- ↑ 2,0 2,1 Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Di Domenico, Angelo, "The golden ratio—the right triangle—and the arithmetic, geometric, and harmonic means, " The Mathematical Gazette 89, 2005.
