Русская Википедия:Треугольник Шарыгина
Треугольник Шарыгина — треугольник, не являющийся равнобедренным, основания биссектрис которого образуют равнобедренный треугольник[1].
Был впервые рассмотрен Игорем Фёдоровичем Шарыгиным в 1982 году в книге «Задачи по геометрии. Планиметрия»[2][3].
Треугольники Шарыгина представляют интерес, так как существуют в отличие от аналогичных треугольников, в определении которых вместо биссектрис использованы, например, медианы или высоты[4].
Существование треугольников Шарыгина
Для любого угла <math>\alpha</math> такого, что <math>-\frac{1}{4}<\cos(\alpha)<\frac{\sqrt{17}-5}{4}</math>, существует с точностью до подобия ровно один треугольник Шарыгина с одним из углов, равным <math>\alpha</math>, причём для любого треугольника Шарыгина косинус одного из его углов лежит в указанном интервале.
Сам угол <math>\alpha</math> в градусах удовлетворяет приближённому двойному неравенству <math>102{,}663^\circ\lesssim\alpha\lesssim104{,}478^\circ</math>[1][3].
Шаблон:Hider{a}=\frac{CB_1+C_1B}{CB}=\frac{CA_1+A_1B}{CA+AB}=\frac{a}{b+c},</math> что можно переписать в виде <math>b^3+c^3-a^3+b^2c+b^2a+c^2b+c^2a-a^2b-a^2c+abc=0.</math>
Обозначим косинус угла <math>\angle BAC</math> через <math>x</math>. Тогда по теореме косинусов <math>b^2+c^2-a^2=2bcx</math>, причём <math>bc(2x(a+b+c)+a)=2bcx(a+b+c)+abc=</math><math>(b^2+c^2-a^2)(a+b+c)+abc=</math><math>b^3+c^3-a^3+b^2c+b^2a+c^2b+c^2a-a^2b-a^2c+abc=0,</math> следовательно, будет верно равенство <math>2x(a+b+c)+a=0</math>, что с учётом неравенства треугольника <math>0<a<b+c</math> даёт ограничения <math>-\frac{1}{4}<x<0.</math>
<math>2x(a+b+c)+a=0\Rightarrow a=-\frac{2x(b+c)}{2x+1}.</math> Подставив данное значение в равенство <math>b^2+c^2-a^2=2bcx</math> и разделив его на <math>c^2</math>, получим квадратное уравнение на <math>\frac{b}{c}:</math>
<math>(4x+1)\Big(\frac{b}{c}\Big)^2-(8x^3+16x^2+2x)\Big(\frac{b}{c}\Big)+(4x+1).</math> Первый и третий члены меньше нуля, а значит, средний член должен быть больше нуля. <math>\frac{b}{c}>0</math>, следовательно, <math>8x^3+16x^2+2x>0</math>. Полученное уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда его дискриминант, равный <math>\frac{1}{4}((8x^3+16x^2+2x)^2-(4x+1)^2)=</math><math>\frac{1}{4}(2x+1)^2(x+1)(2x-1)(2x^2+5x+1),</math> не меньше нуля, причём только одно из этих решений будет положительным. Случай, когда дискриминант равен нулю, не удовлетворяет условию <math>b\neq c</math>, следовательно, требуется его строгая положительность.
Следовательно, треугольник Шарыгина с <math>\cos(\angle BAC)=x</math> существует тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: <math>-\frac{1}{4}<x<0,</math> <math>8x^3+16x^2+2x>0,</math> <math>\frac{1}{4}(2x+1)^2(x+1)(2x-1)(2x^2+5x+1)>0,</math> причём для данного <math>x</math> он всегда единственен. Эти три условия равносильны ограничениям <math>-\frac{1}{4}<x<\frac{\sqrt{17}-5}{4}.</math> }}
Кубика Шарыгина
Кубикой Шарыгина называется полученная в доказательстве выше кубика <math>b^3+c^3-a^3+b^2c+b^2a+c^2b+c^2a-a^2b-a^2c+abc=0</math> (имеющая более простой, но не удовлетворяющий формальному определению кубики вариант записи: <math> \frac{c}{a+b} + \frac{b}{a+c} = \frac{a}{b+c} </math>), задающая необходимое и достаточное условие для того, чтобы треугольник со сторонами <math>a,b,c</math> являлся треугольником Шарыгина с равными сторонами <math>A_1B_1=A_1C_1</math> (см. рисунок).
Конкретные примеры
В правильных многоугольниках
На момент 2017 года известен только один пример треугольника Шарыгина, вершины которого могут являться некоторыми вершинами правильного многоугольника[4]. В данном примере вершины треугольника являются первой, второй и четвёртой вершинами правильного семиугольника[1].
С целыми длинами сторон
Существует бесконечное число различных целочисленных треугольников Шарыгина, что было доказано при помощи теории эллиптических кривых[4] (конкретно была рассмотрена эллиптическая кривая, задаваемая кубикой Шарыгина). Пример, одна из сторон в котором является наименьшей из возможных, имеет следующий набор сторон[1]
- <math>1\,481\,089,\qquad 18\,800\,081,\qquad 19\,214\,131.</math>
Минимальность данного примера была проверена полным перебором[4].
Вариации
- Рассматриваются также аналогичные треугольники, в которых равнобедренным является не треугольник, образованный основаниями биссектрис внутренних углов, а треугольник, образованный одним основанием биссектрисы внутреннего угла и двумя основаниями внешних биссектрис к двум другим углам.[5]
Примечания
Литература
Ссылки
