Русская Википедия:Треугольник точек касания вневписанных окружностей

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Extouch Triangle and Nagel Point.svg

Треугольник внекасаний (<math>\Delta\mathrm{T_AT_BT_C}</math>, с красными сторонами) и точка Нагеля (синяя, N) треугольника (<math>\Delta\mathrm{ABC}</math>, чёрные стороны). Оранжевые окружности — это вневписанные окружности треугольника.

Треугольник точек касания вневписанных окружностей треугольника образован соединением точек, в которых вневписанные окружности касаются треугольника. Для краткости в статье будем называть этот треугольник треугольником внекасаний, хотя его часто называют треугольником Нагеля. Некоторые его свойства есть в статье Точка Нагеля.

Координаты

Вершины треугольника внекасаний задаются трилинейными координатами:

<math>T_A = 0 : \csc^2{\left( B/2 \right)} : \csc^2{\left( C/2 \right)}</math>

<math>T_B = \csc^2{\left( A/2 \right)} : 0 : \csc^2{\left( C/2 \right)}</math>

<math>T_C = \csc^2{\left( A/2 \right)} : \csc^2{\left( B/2 \right)} : 0</math>

Или, эквивалентно, если a,b,c являются длинами сторон, противоположных углам A, B, C соответственно,

<math>T_A = 0 : \frac{a-b+c}{b} : \frac{a+b-c}{c}</math>

<math>T_B = \frac{-a+b+c}{a} : 0 : \frac{a+b-c}{c}</math>

<math>T_C = \frac{-a+b+c}{a} : \frac{a-b+c}{b} : 0.</math>

Связанные фигуры

Шаблон:Не переведено 5 треугольника являются отрезки, соединяющие вершины исходного треугольника с соответствующими вершинами треугольника внекасаний. Они делят периметр пополам (это и есть определение разделителя периметра) и пересекаются в точке Нагеля, которая на рисунке выделена синим цветом и помечена буквой «N».

Эллипс Мандара касается сторон исходного треугольника в трёх вершинах треугольника внекасанийШаблон:Sfn.

Площадь

Площадь треугольника внекасаний, <math>K_T</math>, задаётся формулой:

<math>K_T= K\frac{2r^2s}{abc}</math>,

где <math>K</math>, <math>r</math>, <math>s</math> являются площадью, радиусом вписанной окружности и полупериметром исходного треугольника, а <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> являются длинами сторон исходного треугольника.

Это та же площадь, что и у треугольника касаний.

Литература

• Шаблон:Статья

См. также

• Точка Нагеля