Русская Википедия:Треугольник трёх внешних биссектрис
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Треуго́льник трёх вне́шних биссектри́с (треуго́льник це́нтров вневпи́санных окру́жностей) <math>\Delta J_A J_B J_C</math>— треугольник, образованный точками пересечения внешних биссектрис друг с другом в центрах вневписанных окружностей исходного треугольника[1]. (см. рис.)
Свойства
- Центр окружности, проходящей через центры <math> J_A, J_B, J_C</math> вневписанных окружностей, является точкой Бевэна.
- Исходный треугольник <math>\Delta ABC</math> является ортотреугольником для треугольника внешних биссектрис.
- Описанная окружность исходного треугольника является для треугольника внешних биссектрис окружностью Эйлера.
- Описанная окружность исходного неравнобедренного (в общем случае) треугольника пересекает стороны треугольника внешних биссектрис в шести разных точках. Три из них являются вершинами исходного треугольника, а три других делят стороны треугольника внешних биссектрис пополам (см. свойства окружности Эйлера).
- Точка пересечения симедиан треугольника трёх внешних биссектрис является центром эллипса Мандара исходного опорного треугольника.
- Все три основания D, E и F трех внешних биссектрис соответственно AD, CE и BF внешних углов ортотреугольника <math>ABC</math> для треугольника трёх внешних биссектрис <math> J_1, J_2, J_3</math> лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис или антиортовой осью DEF (antiorthic axis) ортотреугольника <math>ABC</math> (см. рис.). Эта ось также является трилинейной полярой центра вписанной окружности (инцентра).
Свойства подобия родственных треугольников
- Исходный треугольник <math>\Delta ABC</math> по отношению к ортотреугольнику является треугольником трех внешних биссектрис[1].
- Ортотреугольник треугольника трех внешних биссектрис, а также треугольник трех внешних биссектрис ортотреугольника совпадают между собой и совпадают с исходным треугольником.
- Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны[2].
- Ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник подобны.
- Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
- Ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
- Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников.
Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников
- Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
- Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
- Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
- Пусть, точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). СПб.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100
- ↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. следствие 1, § 66, с. 81
