Русская Википедия:Треугольное число
Треугольное число — один из классов фигурных многоугольных чисел, определяемый как число точек, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Как видно из рисунка, Шаблон:S треугольное число <math>T_n</math> — это сумма <math>n</math> первых натуральных чисел:
- <math>\begin{align}
T_1 &= 1 &=&\ 1\\ T_2 &= 1 + 2 &=&\ 3\\ T_3 &= 1 + 2 + 3 &=&\ 6\\ T_4 &= 1 + 2 + 3 + 4 &=&\ 10\\ \end{align}</math> и т. д. Общая формула для <math>n</math>-го по порядку треугольного числа:
- <math>T_n=\frac12n(n+1),\; n=1,2,3\dots</math>;
Последовательность треугольных чисел <math>T_n</math> бесконечна. Она начинается так:
Часть источников начинает последовательность треугольных чисел с нуля, которому соответствует номер <math>n=0.</math>
Треугольные числа играют значительную роль в комбинаторике и теории чиселШаблон:Переход, они тесно связаны с многими другими классами целых чиселШаблон:Переход.
Свойства
Рекуррентная формула для Шаблон:Math-го треугольного числаШаблон:Sfn:
- <math>T_n=T_{n-1}+n</math>.
Следствия (<math>n>1</math>)Шаблон:SfnШаблон:Sfn:
- <math>T_{n+1}=T_{n-1}+2n+1</math>.
- <math>T_{n+1} + T_{n-1} = 2T_n + 1</math>.
- <math>T_{2n-1}=3T_{n-1}+T_n</math> (см. рисунок слева).
- <math>T_{2n}=3T_n+T_{n-1}</math>. (см. рисунок справа).
Ещё две формулы легко доказать по индукцииШаблон:Sfn:
- <math>T_{m+n} = T_m + T_n + mn</math>
- <math>T_{mn} = T_m T_n + T_{m-1}T_{n-1}</math>
Все треугольные числа, кроме 1 и 3, составные. Никакое треугольное число не может в десятичной записи заканчиваться цифройШаблон:Sfn <math>2,4,7,9.</math> Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.
Третья сбоку линия (диагональ) треугольника Паскаля состоит из треугольных чиселШаблон:Sfn.
Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по одной из формулШаблон:Sfn:
- <math>S_{m-1}=1+3+6+\dots+ \frac{(m-1)m}{2} = \frac{m^3- m}{6}</math>
или:
- <math>S_{m}=1+3+6+\dots+ \frac{m(m+1)}{2} = \frac{m(m+1)(m+2)}{6}</math>
Ряд из чисел, обратных треугольным, сходится (см. Телескопический ряд):
- <math>1 + {1 \over 3}+{1 \over 6} + {1 \over 10} + {1 \over 15}+\dots=2\sum_{n=1}^{\infty} \left({1 \over n} - {1 \over n+1}\right) = 2</math>
Критерий треугольности числа
Натуральное число <math>x</math> является треугольным тогда и только тогда, когда число <math>8x+1</math> является полным квадратом.
В самом деле, если <math>x</math> треугольное, то <math>8x+1= 8\frac{n(n+1)}{2} +1=4n^2+4n+1 = (2n+1)^2.</math> Обратно, число <math>8x+1</math> нечётно, и если оно равно квадрату некоторого числа <math>a,</math> то <math>a</math> тоже нечётно: <math>a=2n+1,</math> и мы получаем равенство: <math>8x+1=(2n+1)^2=4n^2+4n+1,</math> откуда: <math>x=\frac{n(n+1)}{2}</math> — треугольное число Шаблон:ЧТД.
Следствие: номер числа <math>x</math> в последовательности треугольных чисел определяется формулой:
- <math> n = \frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}.</math>
Применение
Шаблон:Also Треугольные числа возникают во многих практических ситуациях.
Как биномиальный коэффициент <math>T_n = C^2_{n+1}</math> число <math>T_n</math> определяет число сочетаний для выбора двух элементов из <math>n+1</math> возможных.
Если <math>n</math> объектов попарно соединить отрезками, то число отрезков (число рёбер полного графа) будет выражаться треугольным числом:
- <math>T_{n-1}=\frac{n(n-1)}{2}</math>
Это видно из того, что каждый из <math>n</math> объектов соединяется с остальными <math>n-1</math> объектами, так что получается <math>n(n-1)</math> соединений, однако при таком учёте каждое соединение засчитывается дважды (с двух разных концов), так что результат надо разделить пополам.
Аналогично максимальное количество рукопожатий для <math>n</math> человек или количество шахматных партий в турнире с <math>n</math> участниками равны <math>T_{n-1}.</math> Из тех же соображений можно заключить, что число диагоналей в выпуклом многоугольнике с <math>n</math> сторонами (n>3) равно:
- <math>T_{n-2} - 1 = \frac{n(n-3)}{2}</math>
Максимальное количество <math>p</math> кусков, которое можно получить с помощью <math>n</math> прямых разрезов пиццы (см. рисунок справа), равно <math>T_n+1</math> (см. Центральные многоугольные числа, Шаблон:OEIS).
Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным[1]. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы квадратов треугольных чиселШаблон:Sfn: <math>666=15^2+21^2.</math>
Четвёртое треугольное число 10 (тетраксис) пифагорейцы считали священным, определяющим гармонию вселенной — в частности, соотношения музыкальных интервалов, смену времён года и движение планет[2]. Шаблон:-
Связь с другими классами чисел
Любое <math>k</math>-угольное число <math>P^{(k)}_n \; (k\geqslant 3, n > 1)</math> может быть выражено через треугольныеШаблон:Sfn:
- <math>P^{(k)}_n = n + (k-2)\frac{n(n-1)}{2} = (k - 3)T_{n-1} + T_n</math>
Сумма двух последовательных треугольных чисел — это квадратное число (полный квадрат), то есть[1]:
- <math>T_{n-1}+T_n=n^2\;</math> (формула Теона СмирнскогоШаблон:Sfn.
Примеры:
Обобщением этой формулы является формула Никомаха — для любого <math>k \geqslant 3</math> разность между Шаблон:S и Шаблон:S числами с одним и тем же номером есть треугольное числоШаблон:Sfn:
- <math>P^{(k+1)}_n - P^{(k)}_n = T_{n-1}</math>
Предыдущая формула получается при <math>k=3.</math>
Существует единственная пифагорова тройка, состоящая из треугольных чиселШаблон:Sfn:
- <math>\{T_{132}, T_{143}, T_{164}\} = \{8778, 10296, 13530\}.</math>
Среди треугольных чисел существуют числа-палиндромы, то есть числа, которые одинаковы при чтении их слева направо и справа налево (Шаблон:OEIS):
- <math>1, 3, 6, 55, 66, 171, 595, 666, 3003, 5995, 8778, \dots</math>
Существует бесконечно много треугольных чисел, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»)[3]Шаблон:Sfn: <math>1, 36, 1225, 41616, 1413721 \dots</math> (Шаблон:OEIS).
Треугольное число может также быть одновременно
- пятиугольным (Шаблон:OEIS):
- 1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465…;
- шестиугольным (все треугольные числа с нечётным номером);
- семиугольным (Шаблон:OEIS):
- 1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921, 180458407386358101…
и т. д. Неизвестно, существуют ли числа, одновременно треугольные, квадратные и пятиугольные; проверка на компьютере чисел, меньших <math>10^{22166},</math> не обнаружила ни одного подобного числа, однако не доказано, что таковых не существуетШаблон:Sfn.
Четыре треугольных числа <math>1, 3, 15, 4095</math> являются одновременно числами Мерсенна (Шаблон:OEIS) (см. уравнение Рамануджана — Нагеля).
Пять чисел <math>1, 10, 120, 1540, 7140</math> (и только они) одновременно треугольные и тетраэдральные (Шаблон:OEIS).
Четыре числа <math>1, 55, 91, 208335</math> одновременно треугольные и квадратные пирамидальные (Шаблон:OEIS).
Никакое натуральное число, кроме 1, не может быть одновременно[4]Шаблон:Sfn:
- треугольным и кубическим;
- треугольным и биквадратнымШаблон:Sfn;
- треугольным и пятой степенью целого числа[4];
Каждое чётное совершенное число является треугольным[5].
Любое натуральное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировал в 1638 году Пьер Ферма в письме к Мерсенну без доказательства, впервые доказано в 1796 году ГауссомШаблон:Sfn.
Квадрат Шаблон:Math-го треугольного числа является суммой кубов первых <math>n</math> натуральных чиселШаблон:Sfn. Следствие: разность квадратов двух последовательных треугольных чисел дает кубическое число. Например, <math>15^2 - 10^2 = 125 = 5^3.</math>
Производящая функция
Степенной ряд, коэффициенты которого — треугольные числа, сходится при <math>|x|<1</math>:
- <math>\frac{x}{(1-x)^3} = T_1 x + T_2 x^2 + T_3 x^3 + \dots + T_n x^n + \dots</math>
Выражение слева является производящей функцией для последовательности треугольных чиселШаблон:Sfn.
Вариации и обобщения
Вариацией треугольных чисел являются центрированные треугольные числа.
Понятие плоского треугольного числа можно обобщить на три и более измерений. Пространственным их аналогом служат тетраэдральные числа, а в произвольном <math>d</math>-мерном пространстве можно определить гипертетраэдральные числаШаблон:Sfn:
- <math>T^{[d]}_n = \frac{(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!}</math>
Их частным случаем выступают:
- <math>T^{[2]}_n</math> — треугольные числа.
- <math>T^{[3]}_n</math> — тетраэдральные числа.
- <math>T^{[4]}_n</math> — пентатопные числа.
Ещё одним обобщением треугольных чисел являются числа Стирлинга второго родаШаблон:Sfn:
- <math>T_n=S(n+1,n)</math>
Примечания
Литература
Ссылки
Шаблон:ВС Шаблон:Фигурные числа Шаблон:Классы натуральных чисел
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
