Русская Википедия:Тривиальная топология

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Тривиа́льная тополо́гия в общей топологии — это топология, состоящая лишь из всего пространства и пустого множества. Логичнее, однако, называть эту топологию антидискретной, поскольку и дискретная, и антидискретная топологии — обе довольно тривиальные в общеязыковом смысле этого слова.

Определение

Пусть <math>X</math> — произвольное множество. Семейство подмножеств <math>\mathcal{T}=\{X,\varnothing\},</math> где <math>\varnothing</math> обозначает пустое множество, является топологией. Эта топология называется тривиальной, антидискретной или топологией сли́пшихся точек. Пара <math>(X,\mathcal{T})</math> называется тривиа́льным (иначе: антидискретным) топологи́ческим простра́нством.

Замечание

Если множество <math>X</math> содержит более одной точки, то все они топологически неразличимы, так как содержатся в одной единственной окрестности.

Свойства

• Единственными замкнутыми множествами в антидискретном топологическом пространстве являются <math>X</math> и <math>\varnothing.</math>
• Антидискретная топология обладает единственной базой: <math>\mathcal{B} = \{X\}.</math>
• Антидискретное топологическое пространство не удовлетворяет большинству аксиом отделимости. В частности, оно не является хаусдорфовым, а следовательно и метризуемым. Однако антидискретное топологическое пространство удовлетворяет аксиомам Т₃, T_3½, Т₄ ввиду отсутствия в нём тех объектов, для которых надо проверять условия аксиом. Именно поэтому в определения регулярного, вполне регулярного и нормального топологических пространств вводится требование удовлетворять ещё одной аксиоме отделимости: аксиоме Т₁.
• Антидискретное топологическое пространство компактно и паракомпактно.
• Любая последовательность точек из <math>X</math> сходится к любой точке из того же пространства. В частности антидискретное топологическое пространство секвенциально компактно.
• Внутренность произвольного собственного подмножества <math>A \subsetneq X</math> пуста.
• Замыкание произвольного непустого подмножества <math>A \subset X</math> совпадает с <math>X</math>. В частности, любое подмножество антидискретного топологического пространства всюду плотно в <math>X.</math>
• Два антидискретных топологических пространства гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую мощность.

См. также

• Дискретная топология.