Русская Википедия:Тривиальные объекты в алгебре
Шаблон:Refimprove В алгебре (разделе математики), многие алгебраические структуры имеют тривиальные, то есть простейшие объекты. Как множества, они состоят из одного элемента, обозначаемого символом «0», а сам объект — как «{0}», или просто «0» смотря по контексту (например, в точных последовательностях). Объекты, соответствующие тривиальным случаям, важны для унификации рассуждений: например, удобнее сказать, что «решения уравнения [[ядро линейного отображения|Шаблон:Math]] всегда составляют линейное пространство», нежели делать оговорку «… либо множество {0}».
Важнейшими из таких объектов являются:
- Тривиальная группа, простейшая из групп.
- Является также простейшей из абелевых групп, и все нижеперечисленные объекты наследуют её структуру, понимаемую как сложение.
- Тривиальное кольцо, простейшее из колец.
- Нулевой (тривиальный, или пустопорождённый) модуль, простейший из модулей над заданным кольцом Шаблон:Mvar).
- Нулевое (или нульмерное) линейное пространство над полем Шаблон:Mvar, простейшее из линейных пространств.
- Нулевая алгебра, простейшая из алгебр над кольцом или над полем Шаблон:Mvar.
Шаблон:AnchorВ трёх последних случаях умножение на скаляр определяется как Шаблон:Math, где Шаблон:Math.
Всякая нулевая алгебра также тривиальна как кольцо. Нулевая алгебра над полем является нулевым линейным пространством, а над кольцом — нулевым модулем.
Трактовка при помощи теории категорий
С точки зрения теории категорий, тривиальный объект является терминальным, а иногда (в зависимости от определения морфизма) нулевым (то есть одновременно терминальным и начальным) объектом.
Тривиальный объект единственнен с точностью до изоморфизма.
Терминальность тривиального объекта означает, что морфизм Шаблон:Math существует и единственнен для любого объекта Шаблон:Mvar в категории. Этот морфизм отображает всякий элемент объекта Шаблон:Mvar в Шаблон:Math.
| 2↕ | <math>\begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}</math> | = | <math>\begin{bmatrix} \, \\ \,\end{bmatrix}</math> | [ ] | ‹0 |
| ↔ 1 |
^ 0 |
↔ 1 |
|||
| Элемент нулевого пространства, записанный как пустой вектор-столбец (справа), умножен на пустую матрицу 2×0 для получения 2-мерного нулевого вектора (слева). Правила умножения матриц соблюдены. | |||||
В категориях Rng (колец без обязательной единицы), [[Категория модулей|Шаблон:Mvar-Mod]] и VectШаблон:Mvar, тривиальное кольцо, нулевые модуль и пространство соответственно являются нулевыми объектами. Нулевой объект по определению начален, то есть морфизм Шаблон:Math существует и единственнен для любого объекта Шаблон:Mvar в категории. Этот морфизм отображает Шаблон:Math, единственный элемент объекта Шаблон:Math, в нуль Шаблон:Math. Это мономорфизм, и его образ (подмодуль/подпространство в Шаблон:Mvar, порождённый нулём элементов) изоморфен {0}.
Структуры с единицей
В структурах с единицей (нейтральным элементом умножения) дело не так просто. Когда определение морфизма в категории требует их сохранения, тривиальный объект либо является только терминальным (но не начальным), либо не существует вовсе (например, когда определение структуры требует неравенство Шаблон:Math).
В категории Ring колец с единицами, кольцо целых чисел Z является начальным объектом, а не {0}.
См. также
Ссылки
