Русская Википедия:Тригонометрическая формула Виета

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Тригонометрическая формула Виета — один из способов решения кубического уравнения <math>x^3 + ax^2 + bx + c = 0</math>

Первым решение этого уравнения нашел Никколо Тарталья, Джероламо Кардано опубликовал его решение в 1545 году под своим именем (см. формула Кардано). Однако формула Виета более удобна для практического примененияШаблон:Уточнить, ибо позволяет обойтись без мнимых величин.

Формула

• Вычисляем <math>Q=\frac{a^2-3b}{9}</math>
• Вычисляем <math>R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}</math>
• Вычисляем <math>S = Q^3 - R^2</math>
• Если <math>S>0</math>, то вычисляем <math>\phi = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)</math> и имеем три действительных корня:

  <math>x_1=-2\sqrt{Q}\cos(\phi)-\frac{a}{3}</math>

  <math>x_{2,3}=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi \pm \frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}</math>

• Если <math>S < 0</math>, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны следующие случаи в зависимости от знака <math>Q</math>:
  • <math>Q > 0</math>:

    <math>\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arch}\left(\frac{|R|}{\sqrt{Q^3}}\right)</math>

    <math>x_1=-2\sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3}</math> (действительный корень)

    <math>x_{2,3}=\sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3}\sqrt{Q}\,\operatorname{sh}(\phi)</math> (пара комплексных корней)

  • <math>Q < 0</math>:

    <math>\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arsh}\left(\frac{|R|}{\sqrt{|Q|^3}}\right)</math>

    <math>x_1=-2\sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3}</math> (действительный корень)

    <math>x_{2,3}=\sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3} \sqrt{|Q|}\,\operatorname{ch}(\phi)</math> (пара комплексных корней)

  • <math>Q = 0</math>:

  <math>x_1=-\sqrt[3]{c-\frac{a^3}{27}}-\frac{a}{3}</math> (действительный корень)

  <math>x_{2,3}=-\frac{a+x_1}{2}\pm \frac{i}{2}\sqrt{|(a-3x_1)(a+x_1)-4b|}</math> (пара комплексных корней)

• Если <math>S = 0</math>, то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

  <math>x_1=-2\sgn(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=-2\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}</math>

  <math>x_2=\sgn(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}</math>

Вывод формулы

• Исходный многочлен имеет вид <math> P(x_1) = x_1^3 + a \cdot x_1^2 + b \cdot x_1 + c </math>.

• Подстановкой <math> x_1 = x - \frac a 3 </math> приводим многочлен к виду <math> Q(x) = x^3 + p \cdot x + q </math>, где <math> p = b - \frac {a^2} 3 </math> и <math> q = \frac {2 a^3} {27} - \frac {a b} 3 + c </math>.

• Ищем решение уравнения <math> Q(x) = x^3 + p \cdot x + q = 0 </math> в виде <math> x = A \cdot \cos \varphi </math>, получаем уравнение <math> A^3 \cdot \cos ^3 \varphi + A p \cdot \cos \varphi = - q </math>.

• Заметим что в случае <math> p < 0 </math> при <math> A = \sqrt {- \frac {4p} {3} } </math> это уравнение приобретает вид <math> \frac {A^3} 4 \cdot \Big ( 4 \cos ^3 \varphi - 3 \cos \varphi \Big ) = - q </math>.

• Используя тригонометрическое тождество <math> \cos 3 \varphi = 4 \cos ^3 \varphi - 3 \cos \varphi </math> приходим к уравнению вида <math> \cos 3 \varphi = - \frac {4q} {A^3} </math>.

• Решение этого уравнения имеет вид <math> \varphi_k = \frac 13 \arccos \Big ( - \frac {4q} {A^3} \Big) + \frac {2\pi k} {3} </math>, где <math> k </math> пробегает значения 0, 1, -1. При условии, что <math> 0\leq\arccos \Big ( - \frac {4q} {A^3} \Big)\leq\pi </math>.

• Подставляя полученные значения <math> \varphi_k </math> в выражение для переменной <math> x </math>, получаем ответ <math> x_k = A \cdot \cos \varphi_k </math>

Шаблон:Rq