Русская Википедия:Тригонометрический ряд Фурье

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции <math>f</math> с периодом <math>2 \pi</math> в виде ряда

<math>f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</math>

(1)

или с использованием комплексной записи, в виде ряда:

<math>f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}</math>.

Скалярное произведение и ортогональность

Пусть <math>\phi_n</math>, <math>\phi_m</math> — две функции пространства <math>L^2\left[-\frac{\tau}{2},\frac{\tau}{2}\right]</math>. Определим их скалярное произведение

<math>\langle \phi_m(x), \phi_n(x)\rangle:=\int\limits_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\phi_m(x)\phi_n(x)dx</math>

Условие ортогональности

<math>\int\limits_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\phi_m(x)\phi_n(x)dx = \|\phi_m(x)\|^2\delta_{nm} </math>

где <math>\delta_{nm}</math> — символ Кронекера. Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при <math>n=m</math> или нулю в противном случае.

Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида <math>\sin(kx)</math>, <math>\cos(kx)</math> попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных <math>k\neq l</math>:

<math>\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(lx)dx = \int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(lx)dx = 0</math>

и при всех целых неотрицательных <math>k</math>, <math>l</math>

<math>\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\sin(lx)dx = 0</math>.

Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве <math>L^2[0,2\pi]</math>. Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида <math>\cos(kx), \sin(kx), k\in\mathbb{Z}</math>, то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду).

Классическое определение

Тригонометрическим рядом Фурье функции <math>f\in L_2([-\pi,\pi])</math> называют функциональный ряд вида

<math>f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</math>

(1)

где

<math>a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,</math>

<math>a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,</math>

<math>b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx.</math>

Числа <math>a_0</math>, <math>a_n</math> и <math>b_n</math> (<math>n = 1, 2, \ldots</math>) называются коэффициентами Фурье функции <math>f</math>. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию <math>f\in L_2([-\pi,\pi])</math> в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты <math>a_0</math>, <math>a_n</math> и <math>b_n</math>. Если умножить правую часть (1) на <math>\cos(kx)</math> и проинтегрировать по промежутку <math>[-\pi,\pi]</math>, благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент <math>a_k</math>. Аналогично для <math>b_k</math>

Ряд (1) сходится к функции <math>f</math> в пространстве <math>L_2([-\pi,\pi])</math>. Иными словами, если обозначить через <math>S_k(x)</math> частичные суммы ряда (1):

<math>S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</math>,

то их среднеквадратичное отклонение от функции <math>f</math> будет стремиться к нулю:

<math>\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0</math>.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно(см.ниже).

Комплексная запись

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство <math>L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> комплекснозначных функций со скалярным произведением

<math>\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math>.

Мы также рассматриваем систему функций

<math>\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}</math>.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция <math>f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> может быть разложена по ним в ряд Фурье:

<math>f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}</math>,

где ряд в правой части сходится к <math>f</math> по норме в <math>f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math>. Здесь

<math>\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx</math>.

Коэффициенты : <math>\hat{f}_k</math> связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

<math>\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0;</math>

<math>\hat{f}_0 = a_0/2;</math>

<math>\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0;</math>

<math>a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0;</math>

<math>b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0.</math>

• Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения <math>\hat{f}_k</math> и <math>\hat{f}_{-k}</math> не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Свойства тригонометрического ряда Фурье

Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве <math>L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math>.

• Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:

<math>\widehat{(\alpha f+\beta g)}_k=\alpha \hat{f}_k+\beta\hat{g}_k</math>

• Справедливо равенство Парсеваля:

<math>2\pi \sum_{k=1}^\infty \hat{|f|}_k^2 = ||f||^2</math>.

• Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:

<math>\widehat{(f')}_k=ik\hat{f}_k</math>

• коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются свёрткой коэффициентов Фурье сомножителей:

<math>\widehat{(fg)}_k=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}\hat{f}_j\hat{g}_{k-j}</math>

• рассмотрим операцию свертки функций:

<math>(f\ast g)(t):=\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t-x)g(x) dx,</math>

где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка <math>[-\pi,\pi]</math> на всю прямую. Тогда

<math>\widehat{(f\ast g)}_k =2\pi\hat{f}_k\hat{g}_k</math>

Разложения некоторых функций в ряд Фурье

Функция	Ряд Фурье
Файл:Меандр-2.png	<math> \frac{4a}{\pi} \left(\frac{\sin t}{1}+\frac{\sin 3t}{3}+\frac{\sin 5t}{5}+\dots\right)</math>
Файл:Меандр.png	<math> \frac{4a}{\pi} \sum^{\infin}_{n=1} \frac{1}{2n-1} \sin \frac{2\pi (2n-1)t}{T}</math>

См. также

• Ряд Фурье
• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга