Русская Википедия:Трижды отсечённый ромбоикосододекаэдр

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Три́жды отсечённый ромбоикосододека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₈₃, по Залгаллеру — М₁₃).

Составлен из 32 граней: 5 правильных треугольников, 15 квадратов, 9 правильных пятиугольников и 3 правильных десятиугольников. Каждая десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью квадратными; среди пятиугольных граней 6 окружены двумя десятиугольными и тремя квадратными, остальные 3 — десятиугольной и четырьмя квадратными; среди квадратных граней 3 окружены двумя десятиугольными и двумя пятиугольными, 9 — десятиугольной, двумя пятиугольными и треугольной, остальные 3 — двумя пятиугольными и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена тремя квадратными.

Имеет 75 рёбер одинаковой длины. 15 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 15 рёбер — между десятиугольной и квадратной, 30 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 15 — между квадратной и треугольной.

У трижды отсечённого ромбоикосододекаэдра 45 вершин. В 30 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и квадратная грани; в 15 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Трижды отсечённый ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, отсекши от того три пятискатных купола (J₅). Вершины полученного многогранника — 45 из 60 вершин ромбоикосододекаэдра, рёбра — 75 из 120 рёбер ромбоикосододекаэдра; отсюда ясно, что у трижды отсечённого ромбоикосододекаэдра тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Метрические характеристики

Если трижды отсечённый ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины <math>a</math>, его площадь поверхности и объём выражаются как

<math>S = \frac{1}{4}\left(60+5\sqrt3+\left(30+9\sqrt5\right)\sqrt{5+2\sqrt5}\right)a^2 \approx 55{,}7319866a^2,</math>

<math>V = \frac{1}{6}\left(105+46\sqrt5\right)a^3 \approx 34{,}6431878a^3.</math>

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

<math>R = \frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt5}\;a \approx 2{,}2329505a;</math>

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

<math>\rho = \frac{1}{2}\sqrt{10+4\sqrt5}\;a \approx 2{,}1762509a.</math>

Ссылки

• Шаблон:Mathworld