Русская Википедия:Трилинейная интерполяция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Трилинейная интерполяция — метод многомерной интерполяции в трёхмерном евклидовом пространстве. Линейно аппроксимирует значение функции <math>f</math> в точке <math>(x, y, z)</math>, используя известные значения в окружающих точках.

Трилинейная интерполяция часто используется в численном анализе и машинной графикеШаблон:Нет АИ.

Сравнение с линейной и билинейной интерполяцией

Трилинейная интерполяция является расширением линейной интерполяции, действующей в пространстве с размерностью <math>D=1</math>, и билинейной интерполяции, действующей в пространстве с размерностью <math>D=2</math>, на пространство размерности <math>D=3</math>. Для того чтобы интерполировать значения функции в точке <math>(x,y,z)</math>, необходимо знать значения <math>f</math> в 8 смежных точках, окружающих <math>(x,y,z)</math>.

Интерполяция действительной функции

Допустим, требуется интерполировать значение функции <math>f</math> в точке <math>(x,y,z)</math>. Пусть даны значения функции <math>f</math> в окружающих точках <math>(x_i,y_j,z_k)</math>, где <math>i=1,2</math>, <math>j=1,2</math>, <math>k=1,2</math>, причем <math>x_1<x<x_2</math>, <math>y_1<y<y_2</math>, <math>z_1<z<z_2</math>. Последовательно проводя линейную интерполяцию для каждого измерения, можно получить следующую формулу:

<math>

\begin{align} f(x,y,z)&\approx\frac{f(x_1,y_1,z_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x_2-x)(y_2-y)(z_2-z)+\\ &+\frac{f(x_1,y_1,z_2)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x_2-x)(y_2-y)(z-z_1)+\\ &+\frac{f(x_1,y_2,z_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x_2-x)(y-y_1)(z_2-z)+\\ &+\frac{f(x_1,y_2,z_2)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x_2-x)(y-y_1)(z-z_1)+\\ &+\frac{f(x_2,y_1,z_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x-x_1)(y_2-y)(z_2-z)+\\ &+\frac{f(x_2,y_1,z_2)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x-x_1)(y_2-y)(z-z_1)+\\ &+\frac{f(x_2,y_2,z_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x-x_1)(y-y_1)(z_2-z)+\\ &+\frac{f(x_2,y_2,z_2)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x-x_1)(y-y_1)(z-z_1). \end{align}

</math> В частности, в единичном кубе (<math>x_1=y_1=z_1=0, \quad x_2=y_2=z_2=1</math>):

<math>

\begin{align} f(x,y,z)&\approx f(0,0,0)\cdot(1-x)(1-y)(1-z) +\\ &+f(0,0,1)\cdot(1-x)(1-y)z+\\ &+f(0,1,0)\cdot(1-x)y(1-z)+\\ &+f(0,1,1)\cdot(1-x)yz +\\ &+f(1,0,0)\cdot x(1-y)(1-z)+\\ &+f(1,0,1)\cdot x(1-y)z +\\ &+f(1,1,0)\cdot xy(1-z) +\\ &+f(1,1,1)\cdot xyz. \end{align} </math>