Трилинейные поляры треугольника — некоторые специальные виды прямой линии, связанные с плоскостьютреугольника и лежащие в плоскости треугольника. Трилинейная поляра точки Y (полюса) относительно невырожденного треугольника это — прямая линия, определяемая следующим построением. Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной исходной точки (на рис. дано построение трилинейной поляры EDF красной точки Y).
Здесь чевианный треугольник — треугольник, тремя вершинами которого являются три основания чевиан исходного треугольника.
Трилинейная поляра EDF пересекает три продолжения трех сторон опорного треугольника ABC в трех точках так, что вместе с двумя концами сторон треугольника и с соответствующим основанием одной из трех чевиан образует гармоническую четвёрку точек, лежащих на каждой из трех сторон, включая их продолжения. На рис. справа выше это - три гармонические четвёрки точек: 1) B,C',A,F, 2) B,A',C,D, 3) A,B',C,E.
Примеры трилинейных поляр треугольника
Файл:Antiorthic Axis ru.svgОсь внешних биссектрис или антиортовая ось (antiorthic axis) - трилинейная поляра центра вписанной окружности (инцентра) треугольника ABC)
Трилинейной полярой центра вписанной окружности (инцентра) служит ось внешних биссектрис или антиортовая осьDEF(antiorthic axis) (см. рис.). На ней лежат все три основания D, E и F трех внешних биссектрис соответственно AD, CE и BF внешних углов треугольника ABC.
Трилинейнай полярой точки Коснита, изогонально сопряженной для центра окружности девяти точек, служит прямая EDF (см. рис.)
Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид)
Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности. Это означает то, что если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке <math>X</math>, лежит на трилинейной поляре точки <math>Y</math>, тогда трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке <math>Y</math> лежит на трилинейной поляре точки <math>X</math>.
