Русская Википедия:Трисекция угла
Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.
Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.
Невозможность построения была доказана Ванцелем в 1837 году. Несмотря на это, в прессе[1][2][3][4] и даже в некоторых научных журналах[5] время от времени публикуются ошибочные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.
Невозможность построения
П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что трисекция угла <math>\alpha</math> разрешима только тогда, когда уравнение
- <math>x^3-3x-2\cos \alpha = 0.</math>
разрешимо в квадратных радикалах.
Например,
- Трисекция осуществима для углов вида <math>{2\pi \over n},</math> если целое число <math>n</math> не делится на 3.
- Трисекция острого угла прямоугольного треугольника с целыми сторонами, длины которых выражаются взаимно простыми числами, осуществима тогда и только тогда, когда гипотенуза является кубом целого числа[6].
Построения с помощью дополнительных средств
- Хотя трисекция угла в общем случае невыполнима с помощью циркуля и линейки, существуют кривые, с помощью которых это построение можно выполнить. Улитка Паскаля или трисектриса, квадратриса (в древности тоже называлась трисектрисой), конхоида Никомеда, конические сечения, спираль АрхимедаШаблон:Sfn.
- Трисекция возможна при построении с помощью плоского оригами.[7]
Трисекция угла при помощи невсиса
Следующее построение с помощью невсиса предложено Архимедом.
Предположим, что имеется угол <math>\alpha = POM</math> (рис. 1). Необходимо построить угол <math>\beta</math>, величина которого втрое меньше данного: <math>\alpha=3\beta</math>.
Построим окружность произвольного радиуса <math>a</math> с центром в точке <math>O</math>. Пусть стороны угла пересекаются с окружностью в точках <math>P</math> и <math>M</math>. Продолжим сторону <math>OM</math> исходного угла. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему <math>a</math>, и используя прямую <math>OM</math> в качестве направляющей, точку <math>P</math> в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок <math>AB</math>. Получим угол <math>PAM</math>, равный одной трети исходного угла <math>\alpha</math>.
Доказательство
Рассмотрим треугольник <math>ABO</math> (рис. 2). Так как <math>AB = BO = a</math>, то треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны: <math> \angle BAO = \angle BOA = \beta</math> . Угол <math>\angle PBO</math> как внешний угол треугольника <math>ABO</math> равен <math>2\beta</math>.
Треугольник <math>BPO</math> также равнобедренный, углы при его основании равны <math>2\beta</math>, а угол при вершине <math>\gamma = 180^{\circ}-4 \beta</math>. С другой стороны, <math>\gamma = 180^{\circ}- \beta - \alpha</math>. Следовательно, <math>180^{\circ}-4 \beta = 180^{\circ} - \beta - \alpha</math>, а значит, <math>\alpha=3\beta</math>.
См. также
- Улитка Паскаля
- Математика в Древней Греции
- Теорема Морлея — свойство трисектрис углов треугольника.
- Невсис — метод построения, позволяющий выполнить трисекцию угла (не является решением задачи в классической постановке, так как вместо циркуля использует скользящую около полюса линейку).
Примечания
Литература
Шаблон:ВС Шаблон:- Шаблон:Математика в Древней Греции
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Chang, Wen D.; Gordon, Russell A. Trisecting angles in Pythagorean triangles. Amer. Math. Monthly 121 (2014), no. 7, 625–631.
- ↑ Шаблон:Статья
.gif){kind=link}