Русская Википедия:Тришестиугольная мозаика

Тришестиугольная мозаика
Файл:1-uniform n7.svg
Тип	полуправильная мозаика
Конфигурация вершины	Файл:Trihexagonal tiling vertfig.png (3.6)²
Символ Шлефли	r{6,3} или <math>\begin{Bmatrix} 6 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> h₂{6,3}
Шаблон:Нп3	2 \| 6 3 3 3 \| 3
Диаграмма Коксетера — Дынкина	Шаблон:CDD Шаблон:CDD = Шаблон:CDD
Симметрии	Шаблон:Нп3, [6,3], (*632)
Симметрии вращения	Шаблон:Нп3, [6,3]⁺, (632) p3, [3^[3]]⁺, (333)
Обозначение Бауэрса	That
Двойственные соты	ромбическая мозаика
Свойства	вершинно транзитивная рёберно транзитивная

Тришестиугольная мозаика — это одна из 11 однородных мозаик на евклидовой плоскости из правильных многоугольников^[1]. Мозаика состоит из правильных треугольников и правильных шестиугольников, расположенных так, что каждый шестиугольник окружён треугольниками, и наоборот. Название мозаики вызвано тем фактом, что она комбинирует правильную шестиугольную мозаику и правильную треугольную мозаику. Два шестиугольника и два треугольника чередуются вокруг каждой вершины, а рёбра образуют бесконечную конфигурацию прямых. Двойственная мозаика — ромбическая Шаблон:Sfn.

Мозаика и её место в классификации однородных мозаик были приведены Иоганном Кеплером ещё в 1619 в его книге Harmonices MundiШаблон:Sfn. Узор давно использовался в японском лозоплетении, где он назывался кагомэ. Японский термин для этого узора был позаимствован физиками, где он получил название решётка кагомэ. Узор встречается в кристаллических структурах некоторых минералов. Конвей использовал название hexadeltille (шести-дельта-мозаика), скомбинировав части слов hex-/deltа/tilleШаблон:Sfn.

Кагомэ

Файл:P12fig1.jpg

Японская корзина с узором кагомэ

Кагомэ (Шаблон:Lang-ja) — это традиционный японский узор плетения бамбука. Название состоит из слов каго (корзина) и мэ (глаз), последнее относится к отверстиям в бамбуковой корзине.

Файл:Kagome lattice blue.svg

Детальный вид плетения кагомэ

Кагомэ представляет собой переплетённую конфигурацию прутьев, образующая узор тришестиугольной мозаики. Плетение даёт кагоме симметрию хиральной Шаблон:Нп3, группы p6.

Решётка кагомэ

Термин решётка кагомэ ввёл японский физик, иностранный член РАН^[2] Шаблон:Нп3. Термин впервые появился в статье 1951, написанной Иширо Сёдзи под руководством ФусимиШаблон:Sfn. Решётка кагомэ в этом смысле состоит из вершин и рёбер тришестиугольной мозаики. Вопреки названию, эти пересечения не образуют математическую решётку.

Связанная трёхмерная структура, образованная вершинами и рёбрами Шаблон:Нп3, заполняющих пространство правильными тетраэдрами и усечёнными тетраэдрами, называется гиперрешёткой кагомэ Шаблон:Sfn. Она представляется вершинами и рёбрами четвертькубических сот, заполняющих пространство тетраэдрами и усечёнными тетраэдрами. Структура содержит четыре множества параллельных плоскостей, и каждая плоскость является двумерной решёткой кагомэ. Другое представление в трёхмерном пространстве имеет параллельные уровни двумерных решёток и называется орторомбическая решётка кагомэШаблон:Sfn. Тришестиугольные призматические соты представляют рёбра и вершины этой решётки.

Некоторые минералы, а именно ярозит и гербертсмитит, содержат двумерные решётки или трёхмерные решётки кагомэ, образованные из атомов в кристаллической структуре. Эти минералы показывают физические свойства, связанные с магнитами с геометрической фрустрацией. Например, распределение спинов магнитных ионов в Co₃V₂O₈ располагается в виде решётки кагомэ и показывает удивительное магнитное поведение при низких температурахШаблон:Sfn. Термин имеет сейчас широкое распространение в научной литературе, особенно в теоретическом изучении магнитных свойств теоретической решётки кагомэ.

Симметрия

Файл:Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg

Треугольные 30-60-90 фундаментальные области симметрии p6m (*632)

Тришестиугольная мозаика имеет символ Шлефли r{6,3} и диаграмму Коксетера — Дынкина Шаблон:CDD, символизирующие факт, что мозаика является полноусечённой шестиугольной мозаикой, {6,3}. Её симметрии можно описать группой обоев p6mm, (*632)Шаблон:Sfn. Мозаика может быть получена построением Витхоффа из фундаментальных областей отражений этой группы. Тришестиугольная мозаика является квазиправильной мозаикой, чередующей два типа многоугольников и имеющей конфигурацию вершины (3.6)². Мозаика является также однородной мозаикой, одной из восьми, полученных из правильной шестиугольной мозаики.

Однородные раскраски

Существует две различные однородные раскраски тришестиугольной мозаики. Эти две раскраски, если указать индексы цветов для 4 граней вокруг вершины (3.6.3.6), имеют наборы индексов 1212 и 1232Шаблон:Sfn. Вторая раскраска называется скошенной шестиугольной мозаикой, h₂{6,3}, с двумя цветами треугольников из симметрии (*333) группы обоев p3m1.

Симметрия	p6m, (*632)	p3m, (*333)
Раскраска	Файл:Uniform polyhedron-63-t1.png	Файл:Uniform tiling 333-t12.png
фундаментальная область	Файл:632 fundamental domain t1.png	Файл:333 fundamental domain t01.png
Шаблон:Нп3	2 \| 6 3	3 3 \| 3
диаграмма Коксетера — Дынкина	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD = Шаблон:CDD
символ Шлефли	r{6,3}	r{3^[3]} = h₂{6,3}

Топологически эквивалентные мозаики

Тришестиугольная мозаика может быть геометрически искривлена в топологически эквивалентные мозаики с меньшей степенью симметрииШаблон:Sfn. В этих вариантах мозаики рёбра не обязательно являются отрезками (могут быть кривыми).

p3m1, (*333)	p3, (333)	p31m, (3*3)
Файл:Trihexagonal tiling unequal.png	Файл:Trihexagonal tiling unequal2.svg	Файл:Distorted trihexagonal tiling.png	Файл:Triangle and triangular star tiling.png

Связанные квазирегулярные мозаики

Тришестиугольная мозаика присутствует в последовательности симметрий квазирегулярных мозаик с конфигурациями вершин (3.n)², которая начинается с мозаик на сфере, идёт к евклидовой плоскости и переходит в гипеболическую плоскость. С Шаблон:Нп3 симметрии *n32 все эти мозаики создаются построением Витхоффа с фундаментальной областью симметрии и генераторной точкой в вершине области с прямым угломШаблон:Sfn^[3]. Шаблон:Квазирегулярные-3 малая таблица

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники

Существует 2 правильных комплексных бесконечноугольника, имеющие те же вершины, что и тришестиугольная мозаика. Правильные комплексные бесконечноугольники имеют вершины и рёбра, при этом рёбра могут иметь 2 и более вершин. Правильные бесконечноугольники (апейрогоны) p{q}r имеют ограничивающее равенство: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Рёбра имеют p вершин, расположенных как у правильного многоугольника, а вершинные фигуры r-угольныШаблон:Sfn.

Первый бесконечноугольник состоит из треугольных рёбер, по два треугольника вокруг каждой вершины, второй имеет шестиугольные рёбра, по два шестиугольника вокруг каждой вершины.

3{12}2 or Шаблон:CDD	6{6}2 or Шаблон:CDD
Файл:Complex apeirogon 3-12-2.png	Файл:Complex apeirogon 6-6-2.png

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Геометрические мозаики

Шаблон:Rq

↑ Шаблон:Harvnb. См., в частности, теорему 2.1.3 на стр. 59 (классификацию однородных мозаик), рисунок 2.1.5 на стр.63 (иллюстрация этой мозаики), теорему 2.9.1 на стр. 103 (классификация раскрашенных мозаик), рисунок 2.9.2 на стр. 105 (иллюстрация раскрашенных мозаик), рисунок 2.5.3(d) на стр. 83 (топологически эквивалентная звёздчатая мозаика) и упражнение 4.1.3 на стр. 171 (топологическая эквивалентность тришестиугольной и двутреугольной мозаик).
↑ Шаблон:Cite web
↑ Two Dimensional symmetry Mutations by Daniel Huson

[1] Шаблон:Harvnb. См., в частности, теорему 2.1.3 на стр. 59 (классификацию однородных мозаик), рисунок 2.1.5 на стр.63 (иллюстрация этой мозаики), теорему 2.9.1 на стр. 103 (классификация раскрашенных мозаик), рисунок 2.9.2 на стр. 105 (иллюстрация раскрашенных мозаик), рисунок 2.5.3(d) на стр. 83 (топологически эквивалентная звёздчатая мозаика) и упражнение 4.1.3 на стр. 171 (топологическая эквивалентность тришестиугольной и двутреугольной мозаик).

[2] Шаблон:Cite web

[3] Two Dimensional symmetry Mutations by Daniel Huson

[1]

[2]

[3]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Тришестиугольная мозаика

Содержание