Русская Википедия:Тройное произведение Якоби

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Тройное произведение Якоби — это математическое тождество:

<math>\prod_{m=1}^\infty

\left( 1 - x^{2m}\right) \left( 1 + x^{2m-1} y^2\right) \left( 1 +\frac{x^{2m-1}}{y^2}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2} y^{2n}, </math> для комплексных чисел x и y с <math>|x| < 1</math> и <math>y \ne 0</math>.

Тождество предложил Карл Густав Якоб ЯкобиШаблон:Sfn в труде Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum (Новые принципы в теории эллиптических функций).

Тождество тройного произведения Якоби является Шаблон:Не переведено 5 для аффинных корней системы типа A₁ и является Шаблон:Не переведено 5 для соответствующей аффинной Шаблон:Не переведено 5.

Свойства

Доказательство Якоби основывается на Шаблон:Не переведено 5 Эйлера, которая сама является частым случаем тождества тройного произведения Якоби.

Пусть <math>x=q\sqrt q</math> и <math>y^2=-\sqrt{q}</math>. Тогда имеем

<math>\phi(q) = \prod_{m=1}^\infty \left(1-q^m \right) =

\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{\frac{3n^2-n}{2}}.</math>

Тройное произведение Якоби позволяет также переписать тета-функцию Якоби как бесконечное произведение:

Пусть <math>x=e^{i\pi \tau}</math> и <math>y=e^{i\pi z}.</math>

Тогда тэта-функцию Якоби

<math>

\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi {\rm{i}} n^2 \tau + 2 \pi {\rm{i}} n z} </math>

можно переписать в виде

<math>\sum_{n=-\infty}^\infty y^{2n}x^{n^2}. </math>

Используя тождество тройного произведения Якоби, мы можем записать тэта-функцию как произведение

<math>\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty

\left( 1 - e^{2m \pi {\rm{i}} \tau}\right) \left[ 1 + e^{(2m-1) \pi {\rm{i}} \tau + 2 \pi {\rm{i}} z}\right] \left[ 1 + e^{(2m-1) \pi {\rm{i}} \tau -2 \pi {\rm{i}} z}\right]. </math>

Существует много различных обозначений, используемых для выражения тройного произведения Якоби. Оно принимает краткую форму, если его выразить в терминах q-символов Похгаммера:

<math>\sum_{n=-\infty}^\infty q^{\frac{n(n+1)}{2}}z^n =

(q;q)_\infty \; \left(-\tfrac{1}{z};q\right)_\infty \; (-zq;q)_\infty,</math> где <math>(a;q)_\infty</math> — бесконечный q-символ Похгаммера.

Формула принимает особенно элегантный вид, когда выражается в терминах тета-функции Рамануджана. Для <math>|ab|<1</math> её можно переписать как

<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a^{\frac{n(n+1)}{2}} \; b^{\frac{n(n-1)}{2}} = (-a; ab)_\infty \;(-b; ab)_\infty \;(ab;ab)_\infty.</math>

Доказательство

Для аналитического случая см. книгу АпостолаШаблон:Sfn, первое издание которой было опубликовано в 1976. См. также ссылку ниже для доказательства, стимулированного физиками.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Краткое комбинаторное доказательство тождества, стимулированное физиками.