Название «тропическая» отдаёт честь бразильской школеШаблон:Sfn — пионерским работам бразильского математика венгерского происхождения Шаблон:Нп5[1][2][3], исследовавшего тропическое полукольцо в связи с вопросами информатики и теории оптимизации[4].
Независимо от бразильской школы термин «тропическая» к тому же разделу математики с середины 1980-х годов применял В. П. Маслов. По его мысли, «идемпотентный (тропический) анализ» через посредство термодинамики описывал с экономической точки зрения европейскую колонизацию тропической Африки. Термин «идемпотентный» в научной среде не прижился, а термин «тропическая» применительно к новой математике, как более благозвучный и ёмкий, оказался очень популярным, хотя разные школы вкладывают в него разный смысл[5][6].
Основные понятия
Файл:Tropical curves 2nd order.pngТропические кривые второй степени (в разных масштабах). Показаны соответствующие многочлены. Числа у рёбер показывают их кратность, если она не соответствует их наклону.Файл:Tropical curves 3rd order.pngТропические кривые третьей степени.
Тропическое полукольцо (или тропическое полуполе) — множество вещественных чисел <math>\R</math>, снабжённое операциями тропического сложения <math>\oplus</math> и тропического умножения <math>\odot</math>
<math>
x \oplus y = \max(x,y), \quad x\odot y = x+y.
</math>
Тропический многочлен степени <math>d</math> на плоскости — кусочно-аффинная функция вида
<math>
f(x,y) = \bigoplus_{i+j\le d} \,a_{i,j} \odot x^{\odot i} \odot y^{\odot j} = \max_{i+j\le d} (ix + jy + a_{i,j}).
</math>
Аналогично, тропический многочлен в общем случае — кусочно-аффинная функция вида
Тропическая кривая на плоскости, соответствующая данному тропическому многочлену <math>f</math> степени <math>d</math> — граф на плоскости, вершины и рёбра (конечные и бесконечные) которого образуют множество точек негладкости функции <math>f</math>. Рёбра этого графа считаются снабжёнными кратностями: ребро, разделяющее области линейности, отвечающие набору степеней <math>(i,j)</math> и <math>(i',j')</math>, снабжается кратностью, равной наибольшему общему делителю разностей <math>i-i'</math> и <math>j-j'</math>.
В частности, тропическая прямая есть объединение трёх лучей, исходящих из некоторой точки <math>(x_0,y_0)</math> и направленных вниз, влево и вправо-вверх под 45°. Тропические прямые обладают свойствами, аналогичными свойствам обычных прямых: через любые две точки общего положения проходит ровно одна тропическая прямая, и две тропические прямые общего положения пересекаются в единственной точке.
