Русская Википедия:Трёхдиагональная матрица

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Трёхдиагональной матрицей или матрицей Якоби называют ленточную матрицу следующего вида:

<math>\begin{pmatrix}

a_1 & b_1 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ & c_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & & c_{n-1} & a_n \end{pmatrix},</math> где во всех остальных местах, кроме главной диагонали и двух соседних с ней, стоят нули.

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математической физики. Краевые условия <math>x_1</math> и <math>x_n</math>, которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так, краевое условие первого рода <math>F \bigl|_{x=x_1}=f_1</math> определит первую строку в виде <math>c_1=1</math>, <math>b_1=0</math>, а краевое условие второго рода <math>\frac{\partial F}{\partial x} \Bigl|_{x=x_1}=f_1</math> будет соответствовать значениям <math>c_1=-1</math>, <math>b_1=1</math>.

Определитель

Определитель трёхдиагональной матрицы задается следующей рекуррентной формулой. Положим

<math>f_n = \begin{vmatrix}

a_1 & b_1 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ & c_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & & c_{n-1} & a_n \end{vmatrix}</math> для всех n > 1 и f₁ = a₁. Тогда

<math>f_n = a_n f_{n-1} - c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2},</math>

где f₀ = 1 и f_-1 = 0.

Метод прогонки

Для решения систем линейных уравнений вида Ax = F, где A — трёхдиагональная матрица, обычно используется метод прогонки.

См. также

• Континуанта
• Список матриц

Литература

• В.П. Ильин, Ю.И. Кузнецов Трёхдиагональные матрицы и их приложения. - Шаблон:М., Наука, 1985. - 208 c.