Русская Википедия:Туннелирование через прямоугольный барьер
Туннели́рование че́рез прямоуго́льный барье́р — квантовомеханический туннельный эффект в ситуации, когда потенциальный барьер <math>U(x)</math> для частицы имеет прямоугольную форму, а именно <math>U(x) = V =\,</math> const в области туннелирования <math>0<x<a</math>.
Обычно подразумевается, что по обе стороны барьера <math>U = 0</math>, что полная энергия частицы <math>E</math> связана только с движением в направлении <math>x</math> (нет движения в перпендикулярной плоскости <math>yz</math>) и что масса частицы <math>m</math> неизменна.
Типичные значения параметров: <math>V</math> — порядка электронвольта, <math>a</math> — несколько нанометров, а туннелирующими частицами являются элементарные частицы (электроны и др.).
При анализе туннелирования ставится задача расчёта вероятности прохождения барьера <math>T(E)</math> при однократном соударении частицы с ним. Прямоугольный барьер возникает как простейшее приближение для реальных барьеров, позволяющее получить несложное аналитическое решение.
Решение
<math>U(x)= \begin{cases} 0 &\text{если}~ x < 0 \\ V &\text{если}~ 0 < x < a \\ 0 &\text{если}~ a < x \end{cases}</math>
Частица, описываемая плоской волной, падает на границу барьера справа и частично отражается с амплитудой <math>r.</math> Часть волны проходит через барьер с амплитудой вероятности <math>t.</math> Выражения для волновой функции частицы в трёх областях в одномерном случае:
- <math>\psi_1(x)=e^{ik_1x}+re^{-ik_1x} \,(x<0);</math>
- <math>\psi_2(x)=Ae^{k_2x}+Be^{-k_2x}\,(0<x<a);</math>
- <math>\psi_3(x)=te^{ik_1x}\,(a<x).</math>
Здесь предполагается, что волновые вектора:
- <math>k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}},</math>
- <math>k_2=\sqrt{\frac{2m(V-E)}{\hbar^2}}.</math>
Так как сами волновые функции на границах барьера и их первые производные не должны иметь разрывов, исходя из этого условия производится сшивка волновых функций и их производных на границах и получаются четыре уравнения с четырьмя неизвестными:
- <math>1+r=A+B</math>
- <math>ik_1-irk_1=k_2A-k_2B</math>
- <math>Ae^{k_2a}+Be^{-k_2a}=te^{ik_1a}</math>
- <math>k_2Ae^{k_2a}-k_2Be^{-k_2a}=ik_1te^{ik_1a}.</math>
Их решения:
- <math>A\left(1-i\frac{k_2}{k_1}\right)+B\left(1+i\frac{k_2}{k_1}\right)=2</math>
- <math>A=\frac{t}{2}e^{-k_2a}e^{ik_1a}\left(1+i\frac{k_1}{k_2}\right)</math>
- <math>B=\frac{t}{2}e^{k_2a}e^{ik_1a}\left(1-i\frac{k_1}{k_2}\right)</math>
- <math>te^{-k_2a}\left(1+i\frac{k_1}{k_2}\right)\left(1-i\frac{k_2}{k_1}\right)+te^{k_2a}\left(1-i\frac{k_1}{k_2}\right)\left(1+i\frac{k_2}{k_1}\right)=4e^{-ik_1a}</math>
- <math>t=\frac{4e^{-ik_1a}}{e^{-k_2a}\left(2+i\left(\frac{k_1}{k_2}-\frac{k_2}{k_1}\right)\right)+e^{k_2a}\left(2-i\left(\frac{k_1}{k_2}-\frac{k_2}{k_1}\right)\right)}</math>
- <math>t=\frac{4e^{-ik_1a}}{4\cosh{k_2a}-2i\left(\frac{k_1}{k_2}-\frac{k_2}{k_1}\right)\sinh{k_2a}},</math>
откуда следует выражение для коэффициента прохождения:
- <math>T=|t|^2=t\cdot t^\ast=\frac{1}{\cosh^2{k_2a}+\frac{1}{4}\left(\frac{k_1}{k_2}-\frac{k_2}{k_1}\right)^2\sinh^2{k_2a}}=\frac{1}{1+\frac{(k_1^2+k_2^2)^2}{4k_1^2k_2^2}\sinh^2{k_2a}}.</math>
Примечание. В данном контексте можно рассмотреть ситуацию дельтообразного потенциала, описываемого дельта-функцией Дирака, <math>U(x)=g\delta(x).</math> Это предельный случай прямоугольного барьера, стремящегося к бесконечно высокому и одновременно бесконечно узкому потенциалу (причём так, что произведение <math>V a = g,</math> где <math>g</math> — некая константа). Тогда получается <math>T=(1+g^2\frac{m}{2\hbar^2E})^{-1}.</math>
Если энергия частицы выше барьера, то:
- <math>k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}},</math>
и получим другой результат:
- <math>T=\frac{1}{1+\frac{(k_1^2-k_2^2)^2}{4k_1^2k_2^2}\sin^2{k_2a}}.</math>
При <math>E > V</math> коэффициент квантового прохождения в общем случае отличен от единицы, в отличие от классического случая. В этой области энергий имеют место немонотонности <math>T(E).</math>
Литература
