Русская Википедия:Угловое ускорение
Угловое ускорение — псевдовекторная физическая величина, равная первой производной от псевдовектора угловой скорости по времени
<math>\vec\varepsilon = \frac{d\vec\omega}{dt}.</math>
Угловое ускорение характеризует интенсивность изменения модуля и направления угловой скорости при движении твёрдого тела.
Как приходят к понятию углового ускорения: ускорение точки твёрдого тела при свободном движении
К понятию углового ускорения можно прийти, рассматривая вычисление ускорения точки твёрдого тела, совершающего свободное движение. Скорость точки тела <math>B</math> при свободном движении, согласно формуле Эйлера, равна
<math>\vec v_B = \vec v_A + \vec\omega \times \vec{AB},</math>
где <math>\vec v_A</math> — скорость точки тела <math>A</math>, принятой в качестве полюса; <math>\vec\omega</math> — псевдовектор угловой скорости тела; <math>\vec{AB}</math> — вектор, выпущенный из полюса в точку, скорость которой вычисляется. Дифференцируя по времени данное выражение и используя формулу Ривальса[1], имеем
<math>\vec{a_B}=\vec{a_A}+\vec{\varepsilon}\times\vec{AB}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{AB})</math>
<math>\vec{a_B} = \vec{a_A}+\vec{a^{rot}_{BA}}+\vec{a^{axis}_{BA}},</math>
где <math>\vec a_A</math> — ускорение полюса <math>A</math>; <math>\vec\varepsilon = \frac{d\vec\omega}{dt}</math> — псевдовектор углового ускорения. Составляющая ускорения точки <math>B</math>, вычисляемая через угловое ускорение называется вращательным ускорением точки <math>B</math> вокруг полюса <math>A</math>
<math>\vec a_{BA}^{\,rot} = \vec\varepsilon \times \vec{AB}.</math>
Последнее слагаемое в полученной формуле, зависящее от угловой скорости, называют осестремительным ускорением ускорением точки <math>B</math> вокруг полюса <math>A</math>
<math>\vec a_{BA}^{\,axis} = \vec\omega \times \left(\vec\omega \times \vec{AB} \right).</math>
Геометрический смысл псевдовектора углового ускорения
Псевдовектор <math>\vec\varepsilon</math> направлен по касательной к годографу угловой скорости. Действительно, рассмотрим два значения вектора угловой скорости, в момент времени <math>t</math> и в момент времени <math>t + \Delta t</math>. Оценим изменение угловой скорости за рассматриваемый промежуток времени <math>\Delta t</math>
<math>\Delta \vec\omega = \vec\omega(t + \Delta t) - \vec\omega(t).</math>
Отнесём это изменение к тому промежутку времени, за которое оно произошло
<math>\frac{\Delta \vec\omega}{\Delta t} = \vec\varepsilon^{\,\,'}.</math>
Получившийся вектор называется вектором среднего углового ускорения. Он занимает положение секущей, пересекая годограф вектора угловой скорости в точках <math>M_0</math> и <math>M_1</math>. Перейдём к пределу при <math>\Delta t \to 0</math>
<math>\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec\omega}{\Delta t} = \frac{d\vec\omega}{dt} = \vec\varepsilon.</math>
Вектор среднего углового ускорения перейдёт в вектор мгновенного углового ускорения и займёт положение касательной в точке <math>M_0</math> к годографу угловой скорости.
Выражение вектора углового ускорения через параметры конечного поворота
При рассмотрении вращения тела через параметры конечного поворота, вектор углового ускорения можно расписать формулой
<math>\vec\varepsilon = \left(1 - \cos\varphi \right)\left(\vec u \times \frac{d^2 \vec u}{dt^2} \right) + \dot\varphi\left(1 + \cos\varphi \right) \frac{d\vec u}{dt} + \dot\varphi \sin\varphi \left(\vec u \times \frac{d\vec u}{dt}\right) + \sin\varphi \, \frac{d^2 \vec u}{dt^2} + \ddot\varphi \, \vec u,</math>
где <math>\vec u</math> — орт, задающий направление оси поворота; <math>\varphi</math> — угол, на который совершается поворот вокруг оси <math>\vec u</math>.
Угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной оси
При вращении тела вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижные точки тела <math>O_1</math> и <math>O_2</math>, производные орта оси вращения равны нулю
<math>\frac{d\vec u}{dt} = \frac{d^2\vec u}{dt^2} = 0.</math>
В этом случае вектор углового ускорения определяется тривиально через вторую производную угла поворота
<math>\vec\varepsilon = \ddot\varphi \, \vec u</math>
или
<math>\vec\varepsilon = \varepsilon \, \vec u,</math>
где <math>\varepsilon = \ddot\varphi</math> — алгебраическая величина углового ускорения. В этом случае псевдовектор углового ускорения, как и угловая скорость, направлен вдоль оси вращения тела. Если первая и вторая производные угла поворота имеют одинаковый знак
(<math>\dot\varphi \, \ddot\varphi > 0</math>),
то вектор углового ускорения и вектор угловой скорости совпадают по направлению (тело вращается ускоренно). В противном случае, при <math>\dot\varphi \, \ddot\varphi < 0</math>, векторы угловой скорости и углового ускорения направлены в противоположные стороны (тело вращается замедленно).
В курсе теоретической механики традиционным является подход, при котором понятие угловой скорости и углового ускорения вводится при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. При этом в качестве закона движения рассматривается зависимость от времени угла поворота тела
<math>\varphi = \varphi(t).</math>
В этом случае закон движения точки тела может быть выражен естественным способом, как длина дуги окружности, пройденная точкой при повороте тела от некоторого начального положения <math>\varphi_0 = \varphi(t_0).</math>
<math>s(t) = R \, \left(\varphi(t) - \varphi_0 \right),</math>
где <math>R</math> — расстояние от точки до оси вращения (радиус окружности, по которой движется точка). Дифференцируя последнее соотношение по времени получаем алгебраическую скорость точки
<math>\frac{d s}{dt} = v_\tau = R \, \frac{d\varphi}{dt} = \omega \, R,</math>
где <math>\omega = \frac{d\varphi}{dt}</math> — алгебраическая величина угловой скорости. Ускорение точки тела при вращении может быть представлено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорения
<math>\vec a_M = \vec a_M^{\,\tau} + \vec a_M^{\,n},</math>
причём тангенциальное ускорение получается как производная от алгебраической скорости точки
<math>a_M^{\,\tau} = \frac{d v_\tau}{dt} = \frac{d}{dt}\left( \omega \, R \right) = R \, \frac{d\omega}{dt} = \varepsilon \, R,</math>
где <math>\varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2 \varphi}{dt^2}</math> — алгебраическая величина углового ускорения. Нормальное ускорение точки тела может быть вычислено по формулам
<math>a_M^{\,n} = \frac{v_\tau^2}{R} = \omega^2 \, R.</math>
Выражение псевдовектора углового ускорения через тензор поворота тела
Если поворот твёрдого тела задан тензором ранга <math>\left(1, \, 1 \right)</math> (линейным оператором), выраженным, например, через параметры конечного поворота
<math>B_{\,m}^{\,p} = \left(1 - \cos\varphi \right) \, u^{\,p} \, u_{\,m} + \cos\varphi \, \delta_{\,m}^{\,p} + \sin\varphi \, g^{\,pl} \, \epsilon_{\,lkm} \, u^{\,k},</math>
где <math>\delta_{\,m}^{\,p}</math> — символ Кронекера; <math>\epsilon_{\,lkj}</math> — тензор Леви-Чивиты, то, псевдовектор углового ускорения может быть вычислен по формуле
<math>\varepsilon^{\,i} = \frac{1}{2} \, \epsilon^{ikl} \, g_{\,lp} \, \left( B_{\,m}^{'\,p} \, \ddot B_{\,k}^{\,m} + \dot B_{\,m}^{'\,p} \, \dot B_{\,k}^{\,m} \right),</math>
где <math>B_{\,m}^{'\,p}</math> — тензор обратного преобразования, равный
<math>B_{\,m}^{'\,p} = \left(1 - \cos\varphi \right) \, u^{\,p} \, u_{\,m} + \cos\varphi \, \delta_{\,m}^{\,p} - \sin\varphi \, g^{\,pl} \, \epsilon_{\,lkm} \, u^{\,k}.</math>
Примечания
Литература
- Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики — 10-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1986 — 416 С.
- Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел: Учебное пособие. — Брянск: БГТУ, 1997. — 197 С.
