Русская Википедия:Углы Эйлера
Углы Эйлера — углы, описывающие поворот абсолютно твердого тела в трёхмерном евклидовом пространстве. Введены Леонардом Эйлером.
В сравнении с углами Эйлера кватернионы позволяют проще комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси независимо от совершённого вращения по другим осям (см. Кватернионы и вращение пространства).
Определение
Углы Эйлера определяют три поворота системы, которые позволяют привести любое положение системы к текущему. Обозначим начальную систему координат как <math>(x, y, z)</math>, конечную как <math>(X, Y, Z)</math>. Пересечение координатных плоскостей <math>xy</math> и <math>XY</math> называется линией узлов <math>N</math>.
- Угол <math>\alpha</math> между осью <math>x</math> и линией узлов — угол прецессии.
- Угол <math>\beta</math> между осями <math>z</math> и <math>Z</math> — угол нутации.
- Угол <math>\gamma</math> между линией узлов и осью <math>X</math> — угол собственного вращения.
Повороты системы на эти углы называются прецессия, нутация и поворот на собственный угол (вращение). Такие повороты некоммутативны, и конечное положение системы зависит от порядка, в котором совершаются повороты. В случае углов Эйлера производится серия из трёх поворотов:
- На угол <math>\alpha</math> вокруг оси <math>z</math>. При этом ось <math>x</math> переходит в <math>N</math>.
- На угол <math>\beta</math> вокруг оси <math>N</math>. При этом ось <math>z</math> переходит в <math>Z</math>.
- На угол <math>\gamma</math> вокруг оси <math>Z</math>. При этом ось <math>N</math> переходит в <math>X</math>.
Иногда такую последовательность называют 3,1,3 (или Z,X,Z), но такое обозначение может приводить к двусмысленности.
Формулы
Углы Эйлера описывают последовательную комбинацию Шаблон:Iw вокруг осей вращающейся системы координат. Матрицы этих поворотов имеют вид
<math>R_Z(\alpha) = \left( \begin{array}{ccc}
\cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) & 0 \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \right), \quad R_X(\beta) = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (\beta ) & -\sin (\beta ) \\ 0 & \sin (\beta ) & \cos (\beta ) \\
\end{array} \right), \quad R_Z(\gamma) = \left( \begin{array}{ccc}
\cos (\gamma ) & -\sin (\gamma ) & 0 \\ \sin (\gamma ) & \cos (\gamma ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \right).</math>
Последовательное выполнение этих поворотов даст матрицу
<math>R = R_Z(\gamma) \cdot R_X(\beta) \cdot R_Z(\alpha) = \left( \begin{array}{ccc}
\cos (\alpha ) \cos (\gamma )-\cos (\beta ) \sin (\alpha ) \sin (\gamma ) & -\cos (\gamma ) \sin (\alpha )-\cos (\alpha ) \cos (\beta ) \sin (\gamma ) & \sin (\beta ) \sin (\gamma ) \\ \cos (\beta ) \cos (\gamma ) \sin (\alpha )+\cos (\alpha ) \sin (\gamma ) & \cos (\alpha ) \cos (\beta ) \cos (\gamma )-\sin (\alpha ) \sin (\gamma ) & -\cos (\gamma ) \sin (\beta ) \\ \sin (\alpha ) \sin (\beta ) & \cos (\alpha ) \sin (\beta ) & \cos (\beta ) \\
\end{array} \right).</math>
Произведение <math>R \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}</math>, где <math>x, y, z</math> — координаты точки до поворота, даст координаты точки в подвижной системе координат после поворота. До и после поворота координаты точки в неподвижной системе координат неизменны.
См. также
- Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
- Крен, тангаж и рыскание — угловые движения летательного аппарата или другого транспортного средства
- Матрица поворота
- Шесть степеней свободы
- Складывание рамок
Литература
- Берёзкин Е. Н. Курс теоретической механики — 2-е изд., пер. — М.: Изд-во МГУ. 1974. — 641 с.
- Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики — 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. С. 23.
- Уиттекер Э. Аналитическая динамика С.25
