Русская Википедия:Ударная адиабата
Уда́рная адиабата, или адиаба́та Гюгонио́, адиабата Рáнкина — Гюгонио́ — математическое соотношение, связывающее термодинамические величины до ударной волны и после. Таким образом, ударная адиабата не описывает сам процесс в ударной волне.
Названо в честь шотландского физика Уильяма Джона Ранкина и французского Пьера-Анри Гюгонио, которые независимо получили это соотношение (опубликовано соответственно в 1870 и 1887—1889 годах[1]).
Ударная адиабата представляет геометрическое место точек возможных конечных состояний вещества за фронтом ударной волны при заданных начальных условиях и описывает эти термодинамические состояния независимо от агрегатного состояния вещества, то есть справедлива для газов, жидкостей и твёрдых тел.
Вывод уравнения ударной адиабаты
Рассмотрим законы сохранения на стационарной ударной волне в такой системе отсчёта, в которой ударный фронт покоится:
- <math>\rho_1u_1=\rho_2u_2=j,</math>
- <math>p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2,</math>
- <math>h_1+\frac{1}{2}u_{1}^2=h_2+\frac{1}{2}u_{2}^2.</math>
Здесь <math>\rho</math> — плотность газа, <math>u</math> — скорость газа относительно ударной волны, <math>h</math> — удельная энтальпия газа, <math>j</math> — поток массы через разрыв, индексами «1» и «2» обозначены состояния до и после ударной волны.
Выразим скорость в последнем равенстве через поток массы <math>u=j/\rho</math>, получим уравнение:
- <math>h_2-h_1+\frac{j^2}{2}\left(\frac{1}{\rho_2^2}-\frac{1}{\rho_1^2}\right)=0.</math>
Исключая из него j с помощью равенства, известного под названием прямая или луч Рэлея — Михельсона (название связано с тем, что это уравнение задаёт прямую линию на плоскости <math>(p,V)</math>, где <math>V=1/\rho</math> — удельный объём):
- <math>j^2=-\frac{p_2-p_1}{V_2-V_1},</math>
приходим к соотношению Ранкина — Гюгонио: Шаблон:Рамка
- <math>h_2-h_1-\frac{\left(p_2-p_1\right)}{2}\left(V_1+V_2\right)=0.</math>
Шаблон:Конец рамки Если выразить энтальпию через внутреннюю энергию <math>\varepsilon</math> как <math>h=\varepsilon+pV</math>, то уравнение Ранкина — Гюгонио переходит в следующее выражение:
- <math>\varepsilon_2-\varepsilon_1
-\frac{\left(p_2+p_1\right)}{2}\left(V_1-V_2\right)=0.</math>
Особенности ударной адиабаты
Переход вещества через ударную волну является термодинамически необратимым процессом, поэтому при прохождении через вещество ударной волны удельная энтропия увеличивается. Так, для слабых ударных волн в совершенном газе рост энтропии пропорционален кубу относительного роста давления <math>(p_2-p_1)/p_1.</math>
Увеличение энтропии означает наличие диссипации (внутри ударной волны, являющейся узкой переходной зоной, существенны, в частности, вязкость и теплопроводность). Это, в частности, приводит к тому, что тело, движущееся в идеальной жидкости с возникновением ударных волн, испытывает силу сопротивления, то есть для такого движения парадокс Д'Аламбера не имеет места.
Часто ударной адиабатой Гюгонио называют кривую в плоскости <math>(p,V)</math> или <math>(p,\rho)</math>, определяющую зависимость <math>p_2</math> от <math>\rho_2</math> при заданных начальных значениях <math>p_1</math> и <math>\rho_1</math>. При заданных <math>p_1</math> и <math>\rho_1</math> ударная волна, перпендикулярная потоку, определяется всего одним параметром (наклонная ударная волна характеризуется дополнительно значением касательной к её поверхности составляющей скорости): например, если задать <math>p_2</math>, то по адиабате Гюгонио можно найти <math>\rho_2</math>, а отсюда с использованием вышеприведённых формул — плотность потока <math>j</math> и скорости <math>u_1</math> и <math>u_2</math>, а из уравнения состояния — температуру и т. д.
Ударную адиабату не следует путать с адиабатой Пуассона, описывающей процесс с постоянной энтропией <math>s</math>, то есть такие процессы термодинамически обратимы.
В отличие от адиабаты Пуассона, для которой <math>s(\rho,p)=\mathrm{const}</math>, уравнение ударной адиабаты нельзя написать в виде <math>f(\rho,p)=\mathrm{const}</math>, где <math>f</math> — однозначная функция двух аргументов: адиабаты Гюгонио для заданного вещества составляют двухпараметрическое семейство кривых (каждая кривая определяется заданием как <math>p_1</math>, так и <math>\rho_1</math>), тогда как адиабаты Пуассона — однопараметрическое.
Примеры
Пусть удельная внутренняя энергия имеет выражение как для идеального газа: <math>\varepsilon = \lambda \, p \, V</math>, <math>3/2\leqslant \lambda\leqslant 3</math> . Величина <math>\lambda</math> равна <math>3/2</math> для одноатомного идеального газа, <math>5/2</math> — для двухатомного, <math>3</math> — для многоатомного. Для смесей возможны также и все промужуточные значения.
Тогда из общего случая легко получить уравнение ударной адиабаты в виде <math>\left( \frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{2\lambda +1} \right)\left( \frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{2\lambda +1} \right)=1 - \frac{1}{(2\lambda +1)^2}~.</math>
Правая часть всегда положительна, и левая должна быть положительна, откуда <math>V_2>\frac{V_1}{2\lambda +1}</math>, то есть такой газ может сжиматься ударной волной только менее чем в <math>2\lambda +1</math> раз. Второе начало термодинамики ведёт к тому, что <math>p_2\geqslant p_1</math>, <math>V_2\leqslant V_1</math> (для всех ударных адиабат), то есть объём после ударной волны может только уменьшаться, давление — только увеличиваться. (Если <math>V_2=V_1</math>, то из уравнения следует <math>p_2=p_1</math>, и наоборот. Это соответствует звуковой волне, а не ударной.)
Для сравнения, уравнение изотермы в аналогичной записи: <math> \frac{p_2}{p_1}\frac{V_2}{V_1}=1</math> (закон Бойля — Мариотта).
Примеры для некоторых значений <math>\lambda</math>.
При <math>\lambda=3/2 :\qquad\left( \frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{4} \right)\left( \frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{4} \right)=\frac{15}{16}</math>
При <math>\lambda=2 :\qquad\left( \frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{5} \right)\left( \frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{5} \right)=\frac{24}{25}</math>
При <math>\lambda=5/2 :\qquad\left( \frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{6} \right)\left( \frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{6} \right)=\frac{35}{36}</math>
При <math>\lambda=3 :\qquad\left( \frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{7} \right)\left( \frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{7} \right)=\frac{48}{49}</math>
Правая часть положительна, и левая должна быть положительна. Отсюда следует, что одноатомный идеальный газ сжимается ударной волной менее чем в 4 раза, двухатомный — менее чем в 6 раз, многоатомный — менее чем в 7. При этом в данной модели нет ограничений на повышение давления.
Примечания
Литература
- Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Гидродинамика — С. 456—459 (§ 85).
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
