Русская Википедия:Удлинённый четырёхскатный купол

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Удлинённый четырёхска́тный ку́пол — один из многогранников Джонсона (J₁₉, по Залгаллеру — М₅+П₈).

Составлен из 18 граней: 4 правильных треугольников, 13 квадратов и 1 правильного восьмиугольника. Восьмиугольная грань окружена восемью квадратными; среди квадратных граней 4 окружены восьмиугольной и тремя квадратными, 4 — восьмиугольной, двумя квадратными и треугольной, 1 — четырьмя квадратными, остальные 4 — двумя квадратными и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена тремя квадратными.

Имеет 36 рёбер одинаковой длины. 8 рёбер располагаются между восьмиугольной и квадратной гранями, 16 рёбер — между двумя квадратными, остальные 12 — между квадратной и треугольной.

У удлинённого четырёхскатного купола 20 вершин. В 8 вершинах сходятся восьмиугольная и две квадратных грани; в остальных 12 — три квадратных и треугольная.

Удлинённый четырёхскатный купол можно получить из двух многогранников — четырёхскатного купола (J₄) и правильной восьмиугольной призмы, все рёбра у которой равны, — приложив их друг к другу восьмиугольными гранями.

Кроме того, удлинённый четырёхскатный купол можно получить из ромбокубооктаэдра, отсекши от того один четырёхскатный купол. Вершины полученного многогранника — 20 из 24 вершин ромбокубооктаэдра, рёбра — 36 из 48 рёбер ромбокубооктаэдра; отсюда ясно, что у удлинённого четырёхскатного купола тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбокубооктаэдра.

Метрические характеристики

Если удлинённый четырёхскатный купол имеет ребро длины <math>a</math>, его площадь поверхности и объём выражаются как

<math>S = \left(15+2\sqrt2+\sqrt3\right)a^2 \approx 19{,}5604779a^2,</math>

<math>V = \left(3+\frac{8\sqrt2}{3}\right)a^3 \approx 6{,}7712362a^3.</math>

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

<math>R = \frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt2}\;a \approx 1{,}3989663a;</math>

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

<math>\rho = \frac{1}{2}\sqrt{4+2\sqrt2}\;a \approx 1{,}3065630a.</math>

В координатах

Удлинённый четырёхскатный купол с длиной ребра <math>2</math> можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты

• <math>\left(\pm\left(1+\sqrt2\right);\;\pm1;\;\pm1\right),</math>
• <math>\left(\pm1;\;\pm\left(1+\sqrt2\right);\;\pm1\right),</math>
• <math>\left(\pm1;\;\pm1;\;1+\sqrt2\right).</math>

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а две из четырёх плоскостей симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

Заполнение пространства

С помощью удлинённых четырёхскатных куполов можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений вместе с правильными тетраэдрами и кубами; вместе с кубами и кубооктаэдрами; вместе с удлинёнными четырёхугольными пирамидами (J₈) и удлинёнными четырёхугольными бипирамидами (J₁₅) — последние два многогранника можно также разрезать на кубы и квадратные пирамиды (J₁) (см. иллюстрации).

Ссылки

• Шаблон:Mathworld