Укорачивающий поток — процесс, изменяющий гладкую кривую на плоскости путём перемещения её точек перпендикулярно к кривой со скоростью, равной её кривизне.
Однопараметрическое семейство кривых <math>\gamma_t</math> является решением укорачивающего потока, если для любого значения параметра <math>\tau</math> имеем
где <math>\kappa_t(\tau)</math> — кривизна со знаком кривой <math>\gamma_t</math> в точке <math>\gamma_t(\tau)</math>
и <math>n_t(\tau)</math> — единичный вектор нормали к кривой <math>\gamma_t</math> в точке <math>\gamma_t(\tau)</math>.
Свойства
Файл:Grim reaper curve.svgПример стационарного солитона — кривой, сохраняющий форму вдоль укорачивающего потока.
Если начальная кривая простая и замкнутая, то она остаётся таковой под действием укорачивающего потока.
Для простой замкнутой кривой <math>\gamma_0</math> укорачивающий поток <math>\gamma_t</math> определён на максимальном интервале <math>t\in[0,T)</math>.
При <math>t\to T</math> кривая <math>\gamma_t</math> схлопывается в точку.
Площадь ограниченная кривой уменьшается с постоянной скоростью.
<math>\frac{dS}{dt}=2\cdot\pi.</math>
В частности, момент схлопывания в точку полностью определён площадью, ограниченной кривой: <math>T=\tfrac{S_0}{2\cdot\pi}</math>.
Если изначальная кривая не является выпуклой, то её максимальное абсолютное значение кривизны уменьшается монотонно, пока она не станет выпуклой.
Для выпуклой кривой изопериметрическое соотношение убывает, и прежде чем пропасть в точке сингулярности, кривая стремится по форме к окружности.[1]
Две непересекающиеся простые гладкие замкнутые кривые остаются непересекающимися, пока одна из них не схлопнулась в точку.
Окружность — единственная простая замкнутая кривая, которая сохраняет свою форму в потоке.
Некоторые кривые с самопересечениями, а также кривые бесконечной длины, сохраняют форму.
Приложения
Укорачивающий поток на сфере даёт одно из доказательств задачи Арнольда о существования хотя бы четырёх точек перегиба у любой гладкой кривой, разрезающей сферу на равновеликие диски.[2]
↑Gage, M. E. (1984), «Curve shortening makes convex curves circular», Inventiones Mathematicae 76 (2): 357—364, doi:10.1007/BF01388602
↑Angenent, Sigurd. «Inflection points, extatic points and curve shortening.» Hamiltonian systems with three or more degrees of freedom. Springer Netherlands, 1999. 3-10.
