Русская Википедия:Ультрафильтр
Ультрафильтр на решётке <math>F</math> — это максимальный собственный фильтр[1]. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.
Определение
Собственный фильтр <math>F</math> на решётке <math>L</math> является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (то есть отличном от <math>F</math>) фильтре.
Набор <math>F</math> подмножеств множества <math>X</math> называется ультрафильтром на <math>X</math>, если
- <math>\varnothing\notin F</math>
- для любых двух элементов <math>F</math>, их пересечение также лежит в <math>F</math>
- для любого элемента <math>F</math>, все его надмножества лежат в <math>F</math>
- для любого подмножества <math>Y \subseteq X</math> либо <math>Y \in F</math>, либо <math>X \backslash Y \in F</math>
Замечания
- <math>F</math> является ультрафильтром если функция на множествах <math>S\subset X</math>, заданная как <math>\omega_F(S)=1</math>, если <math>S\in F</math>, и <math>\omega_F(S)=0</math> в противном случае, то <math>\omega_F</math> является конечно-аддитивной вероятностной мерой на <math>X</math>.
Ультрафильтры в булевых алгебрах
Если решётка <math>L</math> является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр <math>F</math> является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента <math>x \in L</math> либо <math>x \in F</math>, либо <math>-x \in F</math>
Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.
Примеры
- Минимальный фильтр, содержащий данный элемент <math>x</math>, называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом <math>x</math>.
- Любой главный фильтр является ультрафильтром
- Основные приложения имеют неглавные ультрафильтры.
- подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории <math>T</math>, состоящее из теорем <math>T</math>
Свойства
- ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
- любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
- если <math>F</math> — главный ультрафильтр на множестве <math>X</math>, то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
- если <math>F</math> — неглавный ультрафильтр на множестве <math>X</math>, то пересечение всех его элементов пусто.
- Каждый фильтр содержится в ультрафильтре.
- Это утверждение не может быть доказано без использования аксиомы выбора.
- Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.
- Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.
- Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства <math>X</math> — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств <math>X</math> наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров <math>G</math> можно взять множества <math>D_a=\{U\in G|a\in U\}</math> для всевозможных <math>a\in P(X).</math>
Приложения
- Ультрафильтры используются в ряде конструкций теории моделей, а именно для формулировки понятия ультрапроизведения.
- Ультрафильтры также фигурируют в формулировке теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр и в явном построении компактификации Стоуна — Чеха.
- Ультрапредел для метрических пространств — обобщение сходимости по Громову — Хаусдорфу.
- Ультрафильтры используются в комбинаторике, например в теории Рамсея.[2]
Примечания
