В 1841 году Шарль Делоне доказал, что единственными поверхностями с постоянной средней кривизной были поверхности, полученные катанием коник.
Это плоскость, цилиндр, сфера, катеноид, ундулоид и нодоид.[1]
Параметризация
Пусть
<math>\operatorname{sn}(u,k)</math> обозначает нормальную функцию синуса Якоби,
а <math>\operatorname{dn}(u,k)</math> — нормальная эллиптическая функция Якоби.
Далее, пусть <math>\operatorname{F}(z,k)</math> представляют собой нормальный эллиптический интеграл первого рода
и <math>\operatorname{E}(z,k)</math> представляют собой нормальный эллиптический интеграл второго рода.
Пусть a — длина большой оси эллипса, а e — эксцентриситет эллипса.
Пусть k будет фиксированным значением от 0 до 1, называемым модулем.
Тогда эллиптическая цепная линия описывается параметрическими уравнениями
Есть несколько примеров появления ундулоидов в природе.
Впервый такой прмер задокументирован в 1970 году.
При прохождении сильного электрического тока через тонкую (0,16–1,0 мм) горизонтально установленную жестко вытянутую (не закаленную) серебряную проволоку приводит к образованию ундулоидов по ее длине.
Позже было обнаружено, что это же явление наблюдается и на молибденовой проволоке.[2]
Ундулоиды также были обнаружены в феррожидкостях.
Пропуская ток в осевом направлении через цилиндр, покрытый пленкой вязкой магнитной жидкости, магнитные диполи жидкости взаимодействуют с магнитным полем тока, создавая узор капель по длине цилиндра.
