Русская Википедия:Универсальная обёртывающая алгебра
Универсальная обёртывающая алгебра — ассоциативная алгебра, которая может быть построена для любой алгебры Ли, перенимающая многие важные свойства исходной алгебры, что позволяет применить более широкие средства для изучения исходной алгебры.
Построение
Ассоциативная алгебра <math>A</math> над полем <math>K</math> обладает естественной структурой алгебры Ли над <math>K</math> со следующей скобкой Ли: <math>[a,b] = ab - ba</math>, то есть, из ассоциативного произведения можно построить скобку Ли с помощью простого взятия коммутатора. Обозначим эту алгебру Ли <math>A_L</math>.
Построение универсальной обёртывающей алгебры пытается обратить этот процесс: для данной алгебры Ли <math>\mathfrak{g}</math> над <math>K</math> находят «наиболее общую» ассоциативную <math>K</math>-алгебру <math>U(\mathfrak{g})</math> такую, что алгебра Ли <math>U_L</math> содержит <math>\mathfrak{g}</math>. Важное ограничение — сохранение теории представлений: представления <math>\mathfrak{g}</math> соотносятся точь-в-точь так же как и модули над <math>U(\mathfrak{g})</math>. В типичном контексте, где <math>\mathfrak{g}</math> задаётся инфинитезимальными преобразованиями, элементы <math>U(\mathfrak{g})</math> действуют как дифференциальные операторы всех порядков.
Мотивация
Важная тема в изучении алгебр и вероятно основной путь их появления в приложениях это представление алгебры Ли. Представление <math>\rho </math> ставит каждому элементу x алгебры Ли линейный оператор <math>\rho(x) </math>. Данное пространство линейных операторов не только алгебра Ли, но также и ассоциативная алгебра, так что возможно рассматривать произведения <math>\rho(x)\rho(y) </math>. Суть введения универсальной обёртывающей алгебры в изучении таких произведений в различных представлениях алгебры Ли. Сразу видно одно препятствие в наивной попытке сделать это: свойства произведений коренным образом зависят от выбранного представления, а не только от самой алгебры Ли. Например, для одного представления можно получить <math>\rho(x)\rho(y)=0 </math>, в то время как в другом представлении это произведение может быть ненулевым. Тем не менее определённые свойства универсальны для всех представлений, то есть сохраняют справедливость для всех представлений одновременно. Универсальная обёртывающая алгебра — это способ охватить все такие свойства и только их.
Универсальное свойство
Пусть <math>\mathfrak{g}</math> — произвольная алгебра Ли над полем <math>K</math>. При заданных ассоциативной алгебре <math>U</math> с единицей и гомоморфизме алгебр Ли
- <math> h\colon \mathfrak{g} \to U_L,</math>
будем говорить, что <math>U</math> является универсальной обёртывающей алгеброй алгебры Ли <math>\mathfrak{g}</math>, если она удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любой ассоциативной алгебры <math>A</math> с единицей и гомоморфизма алгебр Ли
- <math> f\colon \mathfrak{g} \to A_L</math>
существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр с единицей
- <math> g\colon U \to A</math>
такой, что
- <math>f = gh.</math>
Это универсальное свойство также можно понимать так: функтор, отображающий <math>\mathfrak{g}</math> в её универсальную обёртывающую алгебру, сопряжён слева к функтору, отображающему ассоциативную алгебру <math>A</math> в соответствующую алгебру Ли <math>A_L</math>.
Прямое построение
Из этого универсального свойства можно вывести, что если алгебра Ли имеет универсальную обёртывающую алгебру, то эта обёртывающая алгебра однозначно определяется алгеброй <math>\mathfrak{g}</math> с точностью до изоморфизма. С помощью следующей конструкции, которая напрашивается из общих соображений (например, как часть пары сопряжённых функторов), устанавливается, что на самом деле любая алгебра Ли обязательно имеет универсальную обёртывающую алгебру.
Начиная с тензорной алгебры <math>T(\mathfrak{g})</math> на векторном пространстве алгебры <math>\mathfrak{g}</math>, мы получаем <math>U(\mathfrak{g})</math> факторизацией <math>T(\mathfrak{g})</math> по соотношениям
- <math> a \otimes b - b \otimes a = [a,b]</math>
для любых <math>a</math> и <math>b</math> в <math>\mathfrak{g}</math>, где скобки в правой части выражения обозначают коммутатор в <math>\mathfrak{g}</math>.
Формально это значит, что
- <math>U(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g})/I</math>,
где <math>I</math> — двусторонний идеал алгебры <math>T(\mathfrak{g})</math>, порождённый элементами вида
- <math> a\otimes b - b \otimes a - [a,b], \quad a,b \in \mathfrak{g}.</math>
Естественное отображение <math>\mathfrak{g} \to T(\mathfrak{g})</math> задает отображение <math>h\colon \mathfrak{g} \to U_L</math>, и именно этот гомоморфизм алгебр Ли используется в вышеприведённом универсальном свойстве.
Описанная конструкция почти дословно переносится на случай супералгебр Ли.
Примеры
Если <math>\mathfrak{g}</math> абелева (то есть, коммутатор всегда 0), то <math>U(\mathfrak{g})</math> — коммутативна; если выбран базис векторного пространства <math>\mathfrak{g}</math>, то <math>U(\mathfrak{g})</math> может рассматриваться как алгебра многочленов над <math>K</math> с одной переменной для каждого базисного элемента.
Если <math>\mathfrak{g}</math> — алгебра Ли группы Ли <math>G</math>, то <math>U(\mathfrak{g})</math> может рассматриваться как алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов (всех порядков) на <math>G</math>, содержащая <math>\mathfrak{g}</math> в качестве дифференциальных операторов первого порядка (которые находятся во взаимном соответствии с левоинвариантными векторными полями на <math>G</math>).
Центр алгебры <math>U(\mathfrak{g})</math> обозначается через <math>Z(\mathfrak{g})</math> и состоит из дифференциальных операторов, являющихся инвариантными как относительно левого действия группы, так и относительно правого; в случае некоммутативности <math>G</math> центр часто не порождается операторами первого порядка (например, оператор Казимира полупростой алгебры Ли).
Также <math>U(\mathfrak{g})</math> можно охарактеризовать как алгебру обобщённых функций с носителем на единичном элементе <math>e</math> группы <math>G</math> с операцией свёртки.
Шаблон:Нп5 дифференциальных операторов от <math>n</math> переменных с полиномиальными коэффициентами может быть получена, начиная с алгебры Ли группы Гейзенберга. Для этого необходимо профакторизовать её так, чтобы центральные элементы данной алгебры Ли действовали как скаляры.
Дальнейшее описание структуры
Фундаментальная теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта даёт точное описание <math>U(\mathfrak{g})</math>; наиболее важное следствие из неё — это то, что <math>\mathfrak{g}</math> может рассматриваться как линейное подпространство <math>U(\mathfrak{g})</math>. Более точно: каноническое отображение <math>h\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})</math> всегда инъективно. Более того, <math>U(\mathfrak{g})</math> порождается <math>\mathfrak{g}</math> как ассоциативная алгебра с единицей.
<math>\mathfrak{g}</math> действует на себе при помощи присоединённого представления алгебры Ли, и это действие может быть расширено на представление <math>\mathfrak{g}</math> в эндоморфизмы <math>U(\mathfrak{g})</math>: <math>\mathfrak{g}</math> действует как алгебра производных на <math>T(\mathfrak{g})</math>, и это действие сохраняет наложенные соотношения, поэтому она фактически действует на <math>U(\mathfrak{g})</math>. (Это чисто инфинитезимальный способ смотреть на вышеупомянутые инвариантные дифференциальные операторы.)
При таком представлении, элементы <math>U(\mathfrak{g})</math>, инвариантные относительно действия <math>\mathfrak{g}</math> (то есть действие на них любого элемента <math>\mathfrak{g}</math> тривиально), называются инвариантными элементами. Они порождаются инвариантами Казимира.
Как было сказано выше, конструкция универсальных обёртывающих алгебр — это часть пары сопряжённых функторов. <math>U</math> — функтор из категории алгебр Ли над <math>K</math> в категорию ассоциативных <math>K</math>-алгебр с единицей. Этот функтор — сопряженный слева к функтору, отображающему алгебру <math>A</math> в алгебру <math>A_L</math>. Следует отметить, что конструкция универсальной обёртывающей алгебры не является в точности обратной к формированию <math>A_L</math>: если начать с ассоциативной алгебры <math>A</math>, то <math>U(A_L)</math> не равна <math>A</math>; она значительно больше.
Сведения о теории представлений, упомянутые ранее, могут быть уточнены следующим образом: абелева категория всех представлений <math>\mathfrak{g}</math> изоморфна абелевой категории всех левых модулей <math>U(\mathfrak{g})</math>.
Построение групповой алгебры заданной группы во многом аналогично построению универсальной обёртывающей алгебры для заданной алгебры Ли. Оба построения универсальны и переносят теорию представлений в теорию модулей. Более того, как групповые алгебры, так и универсальные обёртывающие алгебры имеют естественную структуру коумножения, которая превращает их в алгебры Хопфа.
Литература
