Русская Википедия:Унимодулярная решётка
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Унимодулярная решётка — целая решётка с определителем <math>\pm1</math>. Последнее эквивалентно тому, что объём фундаментальной области решётки равен <math>1</math>.
Определения
- Решётка — свободная абелева группа <math>\mathbb Z^n</math> конечного ранга <math>n</math> с симметричной билинейной формой <math>({*},{*})</math>.
- Решётку можно также рассматривать как подгруппу в вещественном векторном пространстве <math>\mathbb R^n</math> с симметрической билинейной формой.
- Число <math>n</math> называется размерностью решётки, это размерность соответствующего вещественного векторного пространства; это то же, что и ранг <math>\mathbb Z</math>-модуля <math>\mathbb Z^n</math>, или число образующих свободной группы <math>\mathbb Z^n</math>.
- Решётка называется целой, если форма <math>({*},{*})</math> принимает только целочисленные значения.
- Норма элемента <math>a</math> решётки определяется как <math>(a,a)</math>.
- Решетка называется положительно определённой или лоренцевой, и так далее, если его векторное пространство таково. В частности:
- Решётка является положительно определённой, если норма всех ненулевых элементов положительна.
- Сигнатура решетки определяется как сигнатура формы на векторном пространстве.
- Определитель решётки — это определитель матрицы Грамма её базиса.
- Решётка называется унимодулярной, если её определитель равен <math>\pm 1</math>.
- Унимодулярная решетка называется чётной, если все нормы её элементов чётны.
Примеры
- <math>\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}</math>, а также <math>\mathbb{Z}^n\subset\mathbb{R}^n</math> — унимодулярные решётки.
- Решётка E8, решётка Лича — чётные унимодулярные решётки.
Свойства
- Для данной решётки в <math>\Lambda\in\mathbb R^n</math> вектора <math>x\in\mathbb R^n</math> такие, что <math>(x,a)\in\mathbb{Z}</math> для любого <math>a\in\Lambda</math> также образуют решётку называемую двойственной решёткой к <math>\Lambda</math>.
- Целая решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда её двойственная решетка является целой.
- Унимодулярная решётка тождественна своей двойственной. По этой причине унимодулярные решётки также называются самодвойственными.
- Нечётные унимодулярные решетки существует для всех сигнатур.
- Чётная унимодулярная решетка с сигнатурой <math>(m,n)</math> существует тогда и только тогда, когда <math>m-n</math> делится на 8.
- В частности, чётные положительно определенные унимодулярные решетки существуют только в размерностях, кратных 8.
- Тета-функция унимодулярных положительно определенных решёток является модулярной формой.
Приложения
- Вторая группа когомологий замкнутых односвязных ориентированных топологических четырёхмерных многообразий является унимодулярной решеткой. Михаил Фридман показал, что эта решетка практически определяет многообразие: существует единственное многообразие для каждой чётной унимодулярной решётки, и ровно по два для каждой нечётный унимодулярной решётки.
- В частности, для нулевой формы это влечёт гипотезу Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий.
- Теорема Дональдсона гласит, что если многообразие является гладким и его решётка положительно определена, то она должна представлять собой сумму копий <math>\mathbb{Z}</math>.
- В частности, что большинство из этих многообразий не имеет гладкой структуры.
Литература
Внешние ссылки
- Каталог унимодулярных решёток Нила Слоуна.
- Sloane's A005134 : Number of n-dimensional unimodular lattices", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
