Русская Википедия:Унитарное пространство

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с положительно определённым эрмитовым скалярным произведением, комплексный аналог евклидова пространства.

Определение

Эрмитовым скалярным произведением в векторном пространстве <math>\mathbb L</math> над полем комплексных чисел называется полуторалинейная форма <math> \langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \Complex,</math> удовлетворяющая дополнительному условию:

• <math>(\forall\mathbf x,\mathbf y \in \mathbb L)\ \langle\mathbf x,\mathbf y \rangle = \overline{\langle\mathbf y,\mathbf x \rangle},</math> где <math>\forall</math> — квантор всеобщности.

Другими словами, это означает, что функция <math> \langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \Complex,</math> удовлетворяющая следующим условиям:

• 1) линейность скалярного произведения по первому аргументу:

<math> \forall\mathbf{x_1, x_2, y} \in \mathbb L</math> и <math> \forall \alpha , \beta \in \Complex</math> справедливы равенства:

<math> \langle \alpha\mathbf x_1+\beta\mathbf x_2,\mathbf y \rangle = \alpha \langle\mathbf x_1,\mathbf y \rangle + \beta \langle\mathbf x_2,\mathbf y \rangle;</math>

(иногда в определении вместо этого берут линейность по второму аргументу, что не принципиально, потому что за счёт условия <math>(\forall\mathbf x,\mathbf y \in \mathbb L)\ \langle\mathbf x,\mathbf y \rangle = \overline{\langle\mathbf y,\mathbf x \rangle}</math> они равносильны)

• 2) эрмитовость скалярного произведения:

<math> \forall\mathbf x,\mathbf y \in \mathbb L</math> справедливо равенство <math> \mathbf{\langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}};</math>

• 3) положительная определённость скалярного произведения:

<math> (\forall\mathbf x \in \mathbb L)</math> <math>\langle\mathbf x,\mathbf x \rangle \in \mathbb \R</math> и <math>\langle\mathbf x,\mathbf x \rangle \ge 0,</math> причём <math>\langle\mathbf x,\mathbf x \rangle =0 </math> только при <math>\mathbf{x=0}. </math>

Свойства

• Над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией <math>\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \R </math>.
• Полуторалинейная форма <math> \langle \cdot, \cdot \rangle</math> является эрмитовой тогда и только тогда, когда для всех векторов <math>x \in \mathbb L</math> функция <math>f(\mathbf x)= \langle\mathbf x,\mathbf x \rangle</math> принимает только вещественные значения.

Отличия от евклидова пространства

Унитарные пространства обладают всеми свойствами евклидовых пространств, за исключением четырёх отличий:

1. <math>(\mathbf x, \alpha\mathbf y) = \overline {\alpha} (\mathbf x,\mathbf y);</math>
2. неравенство Коши — Буняковского: <math>\left |\mathbf{(x, y)} \right |^{2} \leqslant \mathbf{(x, x) (y, y)};</math>
3. понятие угла не имеет содержательного смысла;
4. Матрица Грама <math>\Gamma (f) = f^{T}f</math> системы векторов <math>f</math> является эрмитовой <math>\Gamma = \Gamma^{*}.</math>

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.