Русская Википедия:Упорядоченное поле

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин был предложен Артином в 1927 г.

Определение

Пусть <math>F</math> — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение <math>\leqslant</math> (меньше или равно) со следующими свойствами:

1. Рефлексивность: <math>x \leqslant x</math>.
2. Транзитивность: если <math>x \leqslant y</math> и <math>y \leqslant z</math>, то <math>x \leqslant z</math>.
3. Антисимметричность: если <math>x \leqslant y</math> и <math>y \leqslant x</math>, то <math>x=y</math>.
4. Линейность: все элементы <math>F</math> сравнимы между собой, то есть либо <math>x \leqslant y</math>, либо <math>y \leqslant x</math>.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:

5. Если <math>x \leqslant y</math>, то для любого z: <math>x+z \leqslant y+z</math>.
6. Если <math>0 \leqslant x</math> и <math>0 \leqslant y</math>, то <math>0 \leqslant x y</math>.

Если все 6 аксиом выполнены, то поле <math>F</math> называется упорядоченным.

Связанные определения

• Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: <math>x \geqslant y</math> означает, что <math>y \leqslant x</math>.

Отношение больше: <math>x > y</math> означает, что <math>x \geqslant y</math> и <math>x \ne y</math>.

Отношение меньше: <math>x < y</math> означает, что <math>y>x</math>.

• Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
• Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину <math>|x|</math> элемента <math>x</math> как <math>max(x, -x)</math>.

Конструктивное построение порядка

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества <math>P</math>, ноль и <math>-P</math> не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим <math>P_0 =P \cup \{0\}</math> (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:

<math>x \leqslant y</math>, если <math>y-x \in P_0</math>

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.

Свойства

• Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если <math>x</math> положителен, то <math>-x</math> отрицателен, и наоборот.
• В любом упорядоченном поле <math>1>0</math> и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
• Однотипные неравенства можно складывать:

Если <math>x \leqslant y</math> и <math>x' \leqslant y'</math>, то <math>x+x' \leqslant y+y'</math>.

• Неравенства можно умножать на положительные элементы:

Если <math>x \leqslant y</math> и <math>c \geqslant 0</math>, то <math>c x \leqslant c y</math>.

Неединственность порядка

Вообще говоря, поле можно упорядочить разными способами. Пример: рассмотрим поле из чисел вида <math>a+b\sqrt{2}</math>, где <math>a,b</math> — рациональные числа. Кроме обычного порядка, можно определить для этого поля и такой: включим в «подмножество положительных чисел» <math>P</math> те числа <math>a+b\sqrt{2}</math>, для которых <math>a>b\sqrt{2}</math>. Нетрудно проверить, что условия, приведенные в разделе о конструктивном построении порядка, выполненыШаблон:Sfn.

Место в иерархии алгебраических структур

• Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
• Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю.
  • В частности, конечное поле не допускает порядка.
• Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда <math>-1</math> не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
• Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
• Если в упорядоченном поле не существует элемента большего, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовымШаблон:Sfn. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел <math>\mathbb R</math>; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей <math>\mathbb R</math>.
• Любое упорядоченное поле может быть вложено в упорядоченное поле сюрреальных чисел с сохранением порядка.

Примеры

• Рациональные числа
• Вещественные числа
• Вещественные алгебраические числа
• Поле вещественных рациональных функций: <math>\frac {p(x)} {q(x)}</math>, где <math>p(x), q(x)</math> — многочлены, <math>q(x) \ne 0</math>. Упорядочим его следующим образом.
  • Пусть <math>p(x)=p_0 x^n + \dots + p_n;\quad q(x) = q_0 x^m + \dots + q_m.</math> Будем считать, что функция <math>\frac {p(x)} {q(x)} > 0</math>, если <math>\frac {p_0} {q_0} > 0</math>. Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
  • Из определения вытекает, что многочлен <math>p(x)=x</math> больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби) <math>r(x)</math>, для которыхШаблон:Sfn <math>r(\pi)>0</math>.
• Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
• Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле <math>\mathbb{Q}[\theta]</math>, порождённое добавлением к полю рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> числа <math>\theta</math> — одного из комплексных корней многочлена <math>x^3-2</math>. Данное поле изоморфно вещественному полю <math>\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]</math>, поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок

Примеры неупорядочиваемых полей

• комплексные числа
• конечные поля
• p-адические числа

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
• Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
• Шаблон:Книга.