Русская Википедия:Уравнение, приводящее к однородному

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Нет ссылок Уравнение, приводящее к однородному — дифференциальное уравнение первого порядка, которое заменой переменных, выраженное в явной форме, может быть преобразовано к однородному уравнению. Примером служит уравнение

<math>\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{ax + by + c}{\alpha x + \beta y + \gamma}\right) \quad \triangle = \begin{vmatrix} a & b \\ \alpha & \beta \end{vmatrix}\ne 0</math>,

которое заменой

<math>x = u + \psi, \quad y = v + \nu, \quad a\psi + b\nu + c = 0, \quad \alpha \psi + \beta \nu + \gamma = 0</math>,

приводится к однородному уравнению

<math>\frac{dv}{du} = f\left(\frac{au + bv}{\alpha u + \beta v}\right)</math>.

Интегрируя это уравнение и производя обратную замену переменных, получаем все решения исходного уравнения. При <math>\triangle = 0</math> исходное уравнение заменой <math>u = ax + by</math> непосредственно сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

См. также

• Обобщённое дифференциальное уравнение