Русская Википедия:Уравнение Абеля
Уравнение Абеля, названное в честь Нильса Хенрика Абеля — это тип функционального уравнения вида
- <math>f(h(x)) = h(x + 1)</math>
или
- <math>\alpha(f(x)) = \alpha(x)+1</math>.
Данные формы эквивалентны, когда Шаблон:Mvar обратимо. Шаблон:Mvar или Шаблон:Mvar управляют итерацией Шаблон:Mvar.
Эквивалентность
Второе уравнение может быть записано как
- <math>\alpha^{-1}(\alpha(f(x))) = \alpha^{-1}(\alpha(x)+1)\, .</math>
Принимая Шаблон:Math, уравнение можно записать как
- <math>f(\alpha^{-1}(y)) = \alpha^{-1}(y+1)\, .</math>
Для известной функции Шаблон:Math задача состоит в решении функционального уравнение для функции Шаблон:Math, возможно, удовлетворяющей дополнительным требованиям, таким как Шаблон:Math.
Замена переменных Шаблон:Math для вещественного параметра Шаблон:Mvar приводит уравнение Абеля к Шаблон:Iw, Шаблон:Math.
Дальнейшая замена Шаблон:Math приводит к уравнению Шаблон:Iw, Шаблон:Math.
Уравнение Абеля является частным случаем уравнения переноса (и легко обобщается им)[1],
- <math>\omega( \omega(x,u),v)=\omega(x,u+v)</math>,
например, для <math>\omega(x,1) = f(x)</math>,
- <math>\omega(x,u) = \alpha^{-1}(\alpha(x)+u)</math>. (Обратите внимание, что Шаблон:Math.)
Функция Абеля Шаблон:Math дополнительно обеспечивает каноническую координату для адвективных потоков Ли (однопараметрических групп Ли).
История
Изначально уравнение было получено в более общей форме[2][3]. Даже в случае одной переменной уравнение нетривиально и требует специального анализа[4][5][6].
В случае линейной передаточной функции решение выражается компактно[7].
Особые случаи
Уравнение тетрации является частным случаем уравнения Абеля, когда Шаблон:Math.
В случае целочисленного аргумента уравнение кодирует рекуррентную процедуру, например,
- <math>\alpha(f(f(x)))=\alpha(x)+2</math>,
и так далее,
- <math>\alpha(f_n(x))=\alpha(x)+n.</math>
Решения
Уравнение Абеля имеет хотя бы одно решение на <math>E</math> тогда и только тогда, когда для всех <math>x \in E</math> и для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>f^{n}(x) \neq x</math>, где <math> f^{n} = f \circ f \circ ... \circ f</math>, функция Шаблон:Mvar итерированная Шаблон:Mvar раз[8].
Аналитические решения (координаты Фату) могут быть приближены асимптотическим разложением функции, заданной степенным рядом в секторах вокруг параболической неподвижной точки[9]. Аналитическое решение единственно с точностью до константы[10].
См. также
Примечания
- ↑ Aczél, János, (1966): Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, reprinted by Dover Publications, Шаблон:ISBN .
- ↑ Шаблон:Cite journal
- ↑ Шаблон:Cite journal
- ↑ Korkine, A (1882). «Sur un problème d’interpolation», Bull Sci Math & Astron 6(1) 228—242. online
- ↑ Шаблон:Cite journal
- ↑ Шаблон:Cite journal
- ↑ Шаблон:Cite journal
- ↑ R. Tambs Lyche,Sur l'équation fonctionnelle d’Abel, University of Trondlyim, Norvege
- ↑ Dudko, Artem (2012). Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets Ph.D. Thesis
- ↑ Classifications of parabolic germs and fractal properties of orbits by Maja Resman, University of Zagreb, Croatia
