Русская Википедия:Уравнение Баркера
Уравнение Баркера — уравнение, в неявном виде, определяющее зависимость между положением небесного тела (истинной аномалией) и временем, при движении по параболической орбитеШаблон:Sfn. Данное уравнение широко применялось при изучении орбит кометШаблон:Sfn, орбиты которых имеют эксцентриситет близкий к единице. В настоящее время это уравнение находит применение в астродинамикеШаблон:Sfn
Задача, приводящая к уравнению Баркера
Решение задачи двух тел дает уравнение траектории в полярных координатах в виде
- <math>r = \frac{p}{1+e \, \cos\vartheta}</math>
где <math>p</math> — параметр орбиты; <math>e</math> — эксцентриситет орбиты; <math>\vartheta</math> — истинная аномалия — угол между радиус-вектором текущего положения тела и направлением на перицентр. С другой стороны, справедлив второй закон Кеплера
- <math>r^2 \, \frac{d \vartheta}{dt} = c</math>
где <math>c</math> — константа площадей. Исходя из этих уравнений легко получить интеграл, связывающий время и истинную аномалию в точках <math>A_0</math> и <math>A_1</math> орбиты.
- <math>t_1 - t_0 = \frac{p^2}{c} \, \int\limits_{\vartheta_0}^{\vartheta_1} \frac{d\vartheta}{\left(1 + e \, \cos\vartheta\right)^2} </math>
Способ вычисления данного интеграла зависит от величины эксцентриситета (см. Уравнение Кеплера). Для параболической траектории <math>e = 1</math>, в этом случае приходим к тривиальной цепочке преобразований
- <math>t_1 - t_0 = \frac{p^2}{c} \, \int\limits_{\vartheta_0}^{\vartheta_1} \frac{d\vartheta}{\left(1 + \cos\vartheta\right)^2} = \frac{p^2}{4 \,c} \, \int\limits_{\vartheta_0}^{\vartheta_1} \left(1 + {\rm tg}^2 \frac{\vartheta}{2}\right)^2 \, d\vartheta = \left|{\rm tg} \frac{\vartheta}{2} = z, \, d\vartheta = \frac{2\,dz}{1 + z^2} \right| = \frac{p^2}{2 \,c} \int\limits_{{\rm tg} \frac{\vartheta_0}{2}}^{{\rm tg} \frac{\vartheta_1}{2}} \left(1 + z^2\right) \, dz = \frac{p^2}{2 \,c} \left[{\rm tg} \frac{\vartheta_1}{2} - {\rm tg} \frac{\vartheta_0}{2} + \frac{1}{3} \left({\rm tg}^3 \frac{\vartheta_1}{2} - {\rm tg}^3 \frac{\vartheta_0}{2} \right) \right]</math>
Учитывая, что параметр орбиты связан с константой площадей
- <math>p = \frac{c^2}{\mu}</math>
где <math>\mu</math> — гравитационный параметр центрального тела, а константа площадей, в случае параболического движения
- <math>c = r_{\pi} \, v_{\pi} = r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2 \, \mu}{r_{\pi}}} </math>
где <math>r_{\pi}</math> — расстояние до перицентра; <math>v_{\pi}</math> — скорость в перицентре, при движении по параболе являющаяся параболической скоростью. Тогда, получаем для параметра орбиты <math>p = 2 \, r_{\pi}</math> и приходим к окончательному выражению
- <math>t_1 -t _0 = r_{\pi} \sqrt{\frac{2 \, r_{\pi}}{\mu}} \left[{\rm tg} \frac{\vartheta_1}{2} - {\rm tg} \frac{\vartheta_0}{2} + \frac{1}{3} \left({\rm tg}^3 \frac{\vartheta_1}{2} - {\rm tg}^3 \frac{\vartheta_0}{2} \right) \right]</math>
Теперь примем, что начальная точка траектории — перицентр, значит <math>\vartheta_0 = 0</math> и преобразуем полученную зависимость к виду
- <math>n \, \left(t - t_0\right) = {\rm tg} \frac{\vartheta}{2} + \frac{1}{3} {\rm tg}^3 \frac{\vartheta}{2}</math>
где <math>n = \sqrt{\frac{\mu}{2 \, r_{\pi}^3}}</math> — среднее движение небесного тела. В итоге, получаем кубическое уравнение вида
- <math>S + \frac{1}{3} \, S^3 - M = 0 </math>
где <math>S = {\rm tg} \frac{\vartheta}{2}</math>, <math>M = n \, \left(t - t_0\right)</math> — средняя аномалия орбиты небесного тела. Данное уравнение называют уравнением Баркера.
Это уравнение представляет собой неявную зависимость истинной аномалии от времени <math>\vartheta(t)</math> при движении небесного тела по параболической траектории.
Решение уравнения Баркера
Уравнение
- <math>S + \frac{S^3}{3} - M = 0</math>
является кубическим уравнением, записанным в канонической форме Кардано и имеет аналитическое решение. Средствами компьютерной алгебры легко получить это решение, содержащее один действительный и два комплексно-сопряженных корня
- <math>S_1 = x - \frac{1}{x}, \quad S_{2,3} = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2 \, x} \pm i \, \frac{\sqrt{3}}{2} \, \left(x + \frac{1}{x} \right) </math>
где <math>x = \frac{1}{2} \, \sqrt[3]{12 \, M + 4 \, \sqrt{9 \, M^2 + 4}}</math>
Физическому смыслу данной задачи соответствует только действительный корень, поэтому можно записать
- <math>S = {\rm tg}\frac{\vartheta}{2}= x - \frac{1}{x}</math>
Имея этот корень, можно вычислить синус и косинус истинной аномалии
- <math>\cos\vartheta = \frac{1-S^2}{1+S^2}, \quad \sin\vartheta = \frac{2 \, S}{1+S^2}\quad </math>
по которым, с учетом их знака, определяется истинная аномалия <math>\vartheta \in [0, \, 2 \, \pi)</math>
См. также
Примечания
Литература
