Русская Википедия:Уравнение Брейта
Уравнение Брейта — релятивистское волновое уравнение, полученное Грегори Брейтом в 1929 году на основе уравнения Дирака. Оно описывает две или более массивные частицы со спином 1/2 (например, электроны), которые взаимодействуют электромагнитно с точностью до первого порядка теории возмущений. Оно учитывает магнитные взаимодействия и запаздывающие эффекты с точностью до 1/c². Когда другие квантовые электродинамические эффекты незначительны, это уравнение показывает хорошее согласование с экспериментом. Впервые оно было получено из дарвиновского лагранжиана, а позже доказано в теории поглощения Уилера — Фейнмана и, наконец, в квантовой электродинамике.
Вступление
Уравнение Брейта является не только приближением в терминах квантовой механики, но и в терминах теории относительности, поскольку не вполне инвариантно относительно преобразований Лоренца. Как и уравнение Дирака, оно трактует ядра как точечные источники внешнего поля для частиц, которые оно описывает. Для N частиц уравнение Брейта имеет вид (rij — расстояние между частицами i и j):
Шаблон:Equation box 1 - \sum_{i>j}\hat{B}_{ij} \right) \Psi </math> |cellpadding |border |border colour = #50C878 |background colour = #ECFCF4}}
где
- <math> \hat{H}_{D}(i) = \left[ q_{i}\phi(\mathbf{r}_{i}) + c\sum_{s=x,y,z}\alpha_{s}(i)\pi_{s}(I) + \alpha_{0}(I)m_{0}c^{2} \right] </math>
гамильтониан Дирака для i-й частицы с координатой ri и φ(ri) скалярный потенциал в этом положении. qi — заряд частицы, поэтому для электрона qi = −e.
Одноэлектронные дираковские гамильтонианы для частиц, вместе со своими мгновенными кулоновскими взаимодействиями qiqj/rij, формируют оператор Дирака — Кулона. К этому Брейт добавил следующий оператор (оператор Брейта):
- <math> \hat{B}_{ij} = -\frac{1}{2r_{ij}} \left[ \mathbf{a}(i)\cdot\mathbf{a}(j) + \frac{ \left(\mathbf{a}(i)\cdot\mathbf{r}_{ij}\right) \left(\mathbf{a}(j)\cdot\mathbf{r}_{ij}\right) }{r_{ij}^{2}} \right] </math>,
где матрицы Дирака для i-го электрона: a(i) = [αx(i),αy(i),αz(i)]. Два слагаемых в операторе Брейта соответствуют запаздывательным эффектам к первому порядку. Волновая функция Ψ в уравнении Брейта является спинором с 4N элементами, поскольку каждый электрон описывается дираковским биспинором с 4 элементами, а полная волновая функция их тензорным произведением.
Гамильтониан Брейта
Полный гамильтониан в уравнении Брейта, так называемый гамильтониан Дирака — Кулона — Брейта (HDCB) можно разложить на операторы энергии для электронов в магнитном и электрическом полях (также известный как гамильтониан Брейта — Паули)Шаблон:Ref, имеющие хорошо определённый смысл при рассмотрении взаимодействий молекул с магнитными полями (например, в случае ядерного магнитного резонанса):
- <math> \hat{B}_{ij} = \hat{H}_{0} + \hat{H}_{1} + ... + \hat{H}_{6} </math>,
где <math>\hat{H}_{0}</math> — нерелятивистский гамильтониан (<math>m_{i}</math> — масса покоя частицы i):
- <math>\hat{H}_{0} = \sum_{i}\frac{\hat{p}_{i}^{2}}{2m_{i}} + \sum_{i>j} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}</math>;
<math>\hat{H}_{1}</math> — релятивистская поправка к нерелятивистскоому гамильтониану (связанная с разложением энергии по степеням скорости света <math>E_{kin}= m_ic^2\sqrt{1 + \gamma^2v^2/c^2}-m_ic^2</math>):
- <math>\hat{H}_{1} = -\frac{1}{8c^{2}}\sum_{i}\frac{\hat{p}_{i}^{4}}{m_{i}^{3}}</math>;
<math>\hat{H}_{2}</math> — поправка, частично учитывает запаздывание и может быть описана как взаимодействие между магнитными дипольными моментами частиц, возникающими вследствие орбитального движения зарядов (взаимодействие орбита — орбита):
- <math>\hat{H}_{2} = - \sum_{i>j} \frac{q_iq_j}{2r_{ij}m_im_jc^2} \left[ \mathbf{\hat{p}}_i\cdot\mathbf{\hat{p}}_j + \frac{(\mathbf{r_{ij}}\cdot\mathbf{\hat{p}}_i)(\mathbf{r_{ij}}\cdot\mathbf{\hat{p}}_j)}{r_{ij}^2} \right]</math>;
<math>\hat{H}_{3}</math> — классическое взаимодействие между орбитальными магнитными моментами (вследствие орбитального движения зарядов) и спиновыми магнитными моментами (так называемое спин-орбитальное взаимодействие). Первое слагаемое описывает взаимодействие спина частицы с собственным орбитальным моментом (F(ri) — электрическое поле в месте расположения частицы), а второе слагаемое - с орбитальным моментом другой частицы:
- <math>\hat{H}_3 = \frac{\mu_B}{c} \sum_i \frac{1}{m_i} \mathbf{s}_i\cdot\left[ \mathbf{F}(\mathbf{r}_i)\times\mathbf{\hat{p}}_i + \sum_{j > i} \frac{2q_i}{r_{ij}^3}\mathbf{r}_{ij}\times\mathbf{\hat{p}}_j \right]</math>;
<math>\hat{H}_{4}</math> — неклассическое, присущее теории Дирака слагаемое, которое также называют дарвиновским вкладом:
- <math>\hat{H}_4 = \frac{ih}{8 \pi c^2} \sum_{i} \frac{q_i}{m_i^2} \mathbf{\hat{p}}_i\cdot\mathbf{F}(\mathbf{r}_i) </math>;
<math>\hat{H}_{5}</math> — магнитный момент спин-спинового взаимодействия. Первое слагаемое называется контактным взаимодействием, поскольку он отличен от нуля только, когда частицы находятся в одной точке. Второе слагаемое - классическая взаимодействие диполь-дипольного типа:
- <math>\hat{H}_5 = 4\mu_B^2 \sum_{i>j} \left\lbrace -\frac{8\pi}{3} (\mathbf{s}_i\cdot\mathbf{s}_j)\delta(\mathbf{r}_{ij}) + \frac{1}{r_{ij}^3}\left[ \mathbf{s}_i\cdot\mathbf{s}_j - \frac{3(\mathbf{s}_i\cdot\mathbf{r}_{ij})(\mathbf{s}_j\cdot\mathbf{r}_{ij})}{r_{ij}^2} \right] \right\rbrace </math>;
<math>\hat{H}_{6}</math> — взаимодействие спинового и орбитального магнитных моментов с внешним магнитным полем H:
- <math>\hat{H}_6 = \frac{2e \hbar}{2 m c} \sum_{i} \left[ \mathbf{H}(\mathbf{r}_i)\cdot\mathbf{s}_i + \frac{q_i}{m_ic}\mathbf{A}(\mathbf{r}_i)\cdot\mathbf{\hat{p}}_i \right] </math>.
Примечания
