Русская Википедия:Уравнение Гамильтона — Якоби

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения термина Шаблон:Другие значения термина Шаблон:Классическая механика В физике и математике уравнением Гамильтона — Якоби называется уравнение вида

<math>H\left(q_1, \dots, q_n; \frac{\partial S}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_n}; t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0.</math>

Здесь S обозначает классическое действие, <math>H(q_1, \dots, q_n; p_1, \dots, p_n; t)</math> — классический гамильтониан, <math>q_i</math> — обобщённые координаты.

Непосредственно относится к классической (неквантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и квантовой, так как его можно, например, получить практически прямо из уравнения Шрёдингера в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).

В классической механике возникает обычно из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к этому нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого описывает поведение динамической системы.

Следует отличать уравнение Гамильтона — Якоби от уравнений движения Гамильтона и Эйлера — Лагранжа. Хотя это уравнение и выводится из них, но представляет собой одно уравнение, описывающее динамику механической системы с любым количеством степеней свободы s, в отличие от 2s уравнений Гамильтона и s уравнений Эйлера — Лагранжа.

Уравнение Гамильтона — Якоби помогает элегантно решить задачу Кеплера.

Каноническое преобразование

Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой производящей функции <math>S(q, p', t)</math> (пренебрегая индексами) уравнения движения принимают один и тот же вид для <math>H(q, p, t)</math> и <math>H'(q', p', t)</math> при следующем преобразовании:

<math>

(1) \quad \frac{\partial S}{\partial q} = p, \quad \frac{\partial S}{\partial p'} = q', \quad H' = H + \frac{\partial S}{\partial t}. </math>

Новые уравнения движения становятся

<math>

(2) \quad \frac{\partial H'}{\partial q'} = -\frac{dp'}{dt}, \quad \frac{\partial H'}{\partial p'} = \frac{dq'}{dt}. </math>

Уравнение Гамильтона — Якоби появляется из специфической производящей функции <math>S(q, p', t)</math>, которая делает <math>H'(q', p', t)</math> тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются, и

<math> (3) \quad \frac{dp'}{dt} = \frac{dq'}{dt} = 0. </math>

Таким образом, в штрихованной системе координат система совершенно стационарна в фазовом пространстве. Однако мы ещё не определили, при помощи какой производящей функции S достигается преобразование в штрихованную систему координат. Мы используем тот факт, что

<math>

H'(q', p', t) = H(q, p, t) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0. </math>

Поскольку уравнение (1) даёт <math>p = \partial S/\partial q,</math> можно записать

<math>

H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0, </math>

что является уравнением Гамильтона — Якоби.

Решение

Уравнение Гамильтона — Якоби часто решают методом разделения переменных. Пусть некоторая координата (для определённости будем говорить о <math>q_1</math>) и соответствующий ей импульс <math>\frac{\partial S}{\partial q_1}</math> входят в уравнение в форме

<math>\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(f_1\left(q_1, \frac{\partial S}{\partial q_1}\right), q_2, \dots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_2}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_n}\right) = 0.</math>

Тогда можно положить

<math>f_1\left(q_1, \frac{\partial S}{\partial q_1}\right) = \alpha_1,</math>

<math>\frac{\partial S}{\partial q_1} = g_1(q_1, \alpha_1),</math>

где <math>\alpha_1</math> — произвольная постоянная, <math>g_1</math> — обратная функция, и решать уравнение Гамильтона — Якоби уже с меньшим числом переменных. Если процесс можно продолжить по всем переменным, то решение уравнения примет вид

<math>S = -\int H(\alpha_1, \dots, \alpha_n) \,dt + \int g_1(q_1, \alpha_1) \,dq_1 + \int g_2(q_2, \alpha_1, \alpha_2) \,dq_2 + \ldots + \int g_n(q_n, \alpha_1, \dots, \alpha_n) \,dq_n + k,</math>

где <math>\alpha_i</math> — произвольные постоянные, <math>k</math> — константа интегрирования. Напомним, что при этом <math>S</math> является функцией конечной точки <math>(q_1, \dots, q_n)</math>. Так как действие задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы, то его производные по координатам — это импульсы в новой системе координат, поэтому они должны сохраняться:

<math>\beta_i = \frac{\partial S}{\partial \alpha_i}(\mathbf{q}, \alpha_1, \dots, \alpha_n, t).</math>

Совместно с уравнениями на импульсы это определяет движение системы.

Также если в голономной системе с <math>s</math> степенями свободы кинетическая энергия имеет вид <math>T = \frac{1}{2} f \sum_{m=1}^s A_m(\dot q_m^2),</math> и потенциальная энергия имеет вид <math>\Pi = \frac{1}{f} f \sum_{m=1}^s\Pi_m(q_m),</math> где <math>f = \sum_{m=1}^s F_m(q_m),</math> то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них), см. Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — ЯкобиШаблон:Sfn.

См. также

• Гамильтонова механика
• Уравнения Гамильтона
• Квазиклассическое приближение
• Уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана
• Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби

Литература

• Статья в Физической энциклопедии
• Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. 2-е издание — Шаблон:М: Наука, 1966.
• Добронравов В. В. Основы аналитической механики. — М.: Высшая школа, 1976.
• Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Механика
• Ланцош К. Вариационные принципы механики. — М.: Физматгиз. 1965.
• Лич Дж. У. Классическая механика. — М.: Иностр. литература, 1961.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392 с.
• Парс Л. А. Аналитическая динамика. — М.: Наука, 1971.
• Шаблон:Книга