Русская Википедия:Уравнение Гельмгольца
Уравне́ние Гельмго́льца — это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных:
- <math> (\Delta + k^2)U=f, </math>
где <math>\Delta = \nabla^2</math> — это оператор Лапласа, а неизвестная функция <math>U</math> определена в <math>\mathbb{R}^n</math> (на практике уравнение Гельмгольца применяется для <math>n = 1, 2, 3</math>).
Вывод уравнения
Как легко заметить, в уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Рассмотрим волновое уравнение:
- <math>\triangle u(\bar{x},t) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u(\bar{x},t)}{\partial t^2}=f(\bar{x},t).</math>
Пусть функции <math>u</math> и <math>f</math> допускают разделение переменных: <math>u(\bar{x}, t)=U(\bar{x})T(t),\ f(\bar{x},t)=F(\bar{x})T(t)</math>, и пусть <math>T(t)=e^{i\omega t}</math>. Заметим, что в пространстве Фурье-преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель iω. Таким образом, наше уравнение приводится к виду:
- <math>
\triangle U(\bar{x}) + \frac{\omega^2}{c^2}U(\bar{x})=F(\bar{x}), </math>
где <math>\frac{\omega^2}{c^2}=k^2</math> — это квадрат модуля волнового вектора.
Решение уравнения Гельмгольца
Случай однородного уравнения
Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса <math>a</math> в полярных координатах (<math>r,\,\varphi</math>) уравнение принимает вид:
- <math>U_{rr}+\frac{1}{r}U_r+\frac{1}{r^2}U_{\varphi\varphi}+k^2U=0, \qquad U(a, \varphi)=0.</math>
Методом разделения переменных приходим к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от <math>\varphi</math>:
- <math>
U(r, \varphi)=R(r)\Phi(\varphi),</math>
- <math>\frac{\Phi}{\Phi}=-\lambda^2,
</math>
а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению:
- <math>\displaystyle
r^2R+rR'+R(r^2k^2-\lambda^2)=0. </math>
Фундаментальными решениями этих уравнений являются, соответственно, функции <math>\scriptstyle \sin(\lambda\varphi),\ \cos(\lambda\varphi)</math> и <math>\scriptstyle J_\lambda\left (\frac{\mu_i^{(\lambda)}}{a}r\right ),</math> где <math>\mu_i^{(\lambda)}</math> — <math>i</math>-й корень функции Бесселя <math>\lambda</math>-го порядка.
Случай неоднородного уравнения
Рассмотрим уравнение Гельмгольца в пространстве обобщённых функций:
- <math>
\triangle U+k^2U=\delta(x). </math>
Покажем, что в трёхмерном случае <math>(x=(x_1, x_2, x_3))</math> фундаментальными решениями этого уравнения являются функции:
- <math>
U_1^{(3)}(x)=-\frac{e^{ik|x|}}{4\pi |x|}, \qquad U_2^{(3)}=-\frac{e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}. </math>
В самом деле, воспользуемся равенствами:
- <math>\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{1}{|x|}=-\frac{x_j}{|x|^3}</math>
- <math>\frac{\partial}{\partial x_j}e^{ik|x|}=\frac{ikx_j}{|x|}e^{ik|x|}</math>
- <math>\triangle e^{ik|x|}=\left ( \frac{2ik}{|x|}-k^2\right )e^{ik|x|}</math>
и формулой, доказываемой в курсе математической физики:
- <math> \triangle\frac{1}{|x|}=-\frac{2\pi^{3/2}}{\Gamma(3/2)}\delta(x). </math>
Получаем:
- <math>
(\triangle +k^2)\frac{1}{|x|}e^{ik|x|} =e^{ik|x|}\triangle\frac{1}{|x|}+2\left ( \operatorname{grad}\,\,e^{ik|x|}, \operatorname{grad}\frac{1}{|x|}\right )+\frac{1}{|x|}\triangle e^{ik|x|}+\frac{k^2}{|x|}e^{ik|x|}=</math>
<math> =-4\pi e^{ik|x|}\delta(x)+\left ( -\frac{2ik}{|x|^2}+\frac{2ik}{|x|^2}-\frac{k^2}{|x|}+\frac{k^2}{|x|}\right )e^{ik|x|}=-4\pi\delta(x). </math>
Прямыми вычислениями также проверяется, что в двумерном случае фундаментальным решением будут функции Ханкеля первого и второго рода:
- <math>
U_1^{(2)}=-\frac{i}{4}H_0^{(1)}(k|x|), \qquad U_2^{(2)}=\frac{i}{4}H_0^{(2)}(k|x|), </math>
а в одномерном:
- <math>
U_1^{(1)}(x)=\frac{e^{ik|x|}}{2ik}, \qquad U_2^{(1)}=-\frac{e^{-ik|x|}}{2ik}. </math>
Литература
- {{книга|автор=Барашков А. С. ,заглавие= Решение обратной задачи для уравнения Гельмгольца с квазиодномерным коэффициентом| издательство=Изв. вузов. Матем.|год=1989
Шаблон:Математическая физика Шаблон:Rq
