Русская Википедия:Уравнение Дюгема — Маргулеса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Уравнение Дюгема — Маргулеса — термодинамическое выражение взаимосвязи между двумя компонентами одной жидкости, где смесь паров рассматривается как идеальный газ:

<math> \left ( \frac{\mathrm{d}\ln P_A}{\mathrm{d}\ln x_A} \right )_{T,P} = \left ( \frac{\mathrm{d}\ln P_B}{\mathrm{d}\ln x_B} \right )_{T,P} </math>

где P_A и P_B — парциальные давления паров двух компонентов, а x_A и x_B — молярные доли жидкости. Уравнение даёт связь между изменениями мольной доли и парциального давления компонентов. Названо в честь Пьера Дюгема и Макса Маргулеса.

Вывод

Для бинарной жидкой смеси, состоящей из двух компонентов, находящихся в равновесии с их парами при постоянных температуре и давлении из уравнения Гиббса — Дюгема следует Шаблон:NumBlk где n_A и n_B — количество молей компонентов смеси A и B, а μ_A и μ_B — их химические потенциалыШаблон:Sfn.

Разделив уравнение (Шаблон:Eqref) на n_A + n_B, тогда

<math> \frac{n_A}{n_A+n_B} \mathrm{d}\mu_A + \frac{n_B}{n_A+n_B}\mathrm{d}\mu_B = 0 </math>

или после упрощения Шаблон:NumBlk Теперь химический потенциал любого компонента в смеси зависит от термодинамических параметров: температуры, давления, а также состава смеси. Следовательно, если температура и давление считаются постоянными, химические потенциалы должны удовлетворять соотношениям Шаблон:NumBlk Шаблон:NumBlk Помещая эти значения в уравнение (Шаблон:Eqref), получается Шаблон:NumBlk Поскольку сумма мольных долей всех компонентов смеси равна единице, то есть

<math> x_1 + x_2 = 1 </math>

получится

<math> \mathrm{d}x_1 + \mathrm{d}x_2 = 0 </math>

тогде уравнение (Шаблон:Eqref) представляется в виде: Шаблон:NumBlk Теперь химический потенциал любого компонента в смеси таков, что

<math> \mu = \mu_0 + RT \ln P </math>

где P — парциальное давление этого компонентаШаблон:Sfn. Продифференцировав это уравнение по мольной доле компонента получается

<math> \frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}x} = RT \frac{\mathrm{d} \ln P}{\mathrm{d}x} </math>

для компонентов смеси A и B Шаблон:NumBlk Шаблон:NumBlk Подставляя эти значения в уравнение (Шаблон:Eqref)

<math> x_A \frac{\mathrm{d} \ln P_A}{\mathrm{d}x_A} = x_B \frac{\mathrm{d} \ln P_B}{\mathrm{d}x_B} </math>

или, избавляясь от дифференциалов

<math> \left ( \frac{\mathrm{d} \ln P_A}{\mathrm{d} \ln x_A} \right )_{T,P} = \left( \frac{\mathrm{d} \ln P_B}{\mathrm{d} \ln x_B} \right)_{T,P} </math>

Это последнее уравнение является называется уравнением Дюгема — МаргулесаШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Atkins, Peter and Julio de Paula. 2002. Physical Chemistry, 7th ed. New York: W. H. Freeman and Co.
• Carter, Ashley H. 2001. Classical and Statistical Thermodynamics. Upper Saddle River: Prentice Hall.